2020-2021/TST_sti2d/07_Equation_differentielle/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Position - vitesse - accélération}, step={1}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    \begin{enumerate}
        \item On observe un mobile en mouvement et on décrit sa position verticale en fonction du temps $t$ en secondes par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la fonction décrivant la vitesse du module $v(t) = z'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dz}{dt}$).
                \item Déterminer la fonction décrivant l'accélération du module $a(t) = v'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dv}{dt}$).
                \item À quelle hauteur le mobile a été lâché? Quel était alors sa vitesse? Son accélération?
            \end{enumerate}
        \item On étudie un mobile en chute libre. On le lance à une hauteur de 10m au dessus du sol avec une vitesse de 1m/s. Un bilan des forces permet de connaître son accélération au cours du mouvement: $a(t) = -10$.
            \begin{enumerate}
                \item On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($a(t) = v'(t)$). Déterminer la fonction vitesse du mobile.
                \item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
                \item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales? 
            \end{enumerate}
        \item On considère, la fonction $m(t)$ qui modélise la masse d'une réactif dans une réaction chimique. Une étude cinétique de la réaction mène déduire que l'évolution de la masse du réactif (la vitesse de la réaction) est proportionnelle à cette masse du réactif. On traduit cela par la formule $\dfrac{dm}{dt} = -k \times m(t)$. 

            Pour simplifier, on estimera que $k = 1$ et que l'on a donc $\dfrac{dm}{dt} = -m(t)$

            \begin{enumerate}
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction exponentielle?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Vérifications}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    \noindent
    Expliquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausse.
    \begin{enumerate}
        \item $f(x) = 6x^2$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
        \item $g(x) = 8x^2$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
        \item $h(x) = 6x^2 + 12$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
        \item L'équation différentielle $y' = 12x$ a une unique solution.

        \item $f(x) = e^{-2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
        \item $g(x) = e^{-2x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
        \item $h(x) = 2e^{-2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
        \item L'équation différentielle $y' = -2y$ a une unique solution.

        \item $f(x) = e^{10x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = 10y$
        \item $g(x) = e^{-0.1x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0.1y + 0.1$
        \item $h(x) = \cos(x)$ est solution de l'équation différentielle $y'' = -y$
    \end{enumerate}    
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Recherche de solutions}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    Déterminer 3 solutions pour chaque équation différentielle
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $y' = 4x$.
            \item $y' = 10$.

            \item $y' = x^3 + 3x$.
            \item $y' = \cos(x)$.

            \item $y' = \frac{1}{x^2}$.
            \item $y' = e^{2x}$.
        \end{enumerate}    
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations différentielles}, step={3}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    Déterminer l'ensemble de solutions des équations différentielles.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $y' = 3y$
            \item $y' = -0.2y$
            \item $\dfrac{df}{dx} = -5f(x)$

            \item $y' = 3y + 10$
            \item $y' = -0.2y - 5$
            \item $\dfrac{df}{dx} = -5f(x) + 1$

            \item $4y' = y$
            \item $y' + 2y = 0$
            \item $2\dfrac{df}{dx} - 6f(x) = 4$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations différentielles}, step={4}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    Déterminer la solution unique des équations différentielles suivantes
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item 
                \begin{cases}
                    y' = 0.1 y \\
                    f(0) = 2
                \end{cases}
            \item 
                \begin{cases}
                    y' = 2 y + 4\\
                    f(0) = 2
                \end{cases}
            \item 
                \begin{cases}
                    y' = 0.1 y \\
                    f(0) = 2
                \end{cases}
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Chutte d'objets}, step={4}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    On veut étudier la chute d'un objet dû à l'attraction terrestre. On lâché l'objet à $t=0$ avec une vitesse nulle.
    \begin{enumerate}
        \item On suppose que que l'objet ne subit pas de frottement. Il est donc uniquement soumis à l'attraction terrestre et donc le bilan des forces donne l'équation différentielle suivante
            \[
                \frac{dv}{dt} = 9,81
            \]
            où $v(t)$ est la vitesse en fonction du temps.
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer l'expression de la vitesse en fonction du temps.
                \item Tracer l'allure de la courbe représentative de la vitesse. Que peut-on dire de la vitesse quand le temps devient très grand?
            \end{enumerate}
        \item On ajoute une force de résistance dû aux frottements avec l'aire. Le bilan des force donne l'équation différentielle suivante
            \[
                \frac{dv}{dt} = -0.5v(t) + 9,81
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle.
                \item En prenant en compte, les conditions initiales, déterminer la solution unique de l'équation.
                \item Tracer l'allure de la courbe représentative de la vitesse. Que peut-on dire de la vitesse quand le temps devient très grand?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations différentielles}, step={4}, origin={Annale}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.

    Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 

    La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:

    \[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]

    À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).

    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
                \item Donner $f(0)$.
                \item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
            \end{enumerate}
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
                \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
                \item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
            \end{enumerate}
        \item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
        \item
            \begin{enumerate}
                \item Par une lecture graphique, déterminer $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.

                    Interpréter le résultat dans le contexte.

                \item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

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