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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{tasks}
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% Title Page
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\title{DM1 \hfill \Var{Nom}}
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\tribe{TST sti2d}
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\date{\hfillÀ render pour le jeudi 25 février}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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%- set I = sympy.I
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%- set latex = sympy.latex
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%- set sqrt = sympy.sqrt
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%- set exp = sympy.functions.exp
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%- set integrate = sympy.integrate
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\begin{exercise}[subtitle={Complexes}]
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\begin{enumerate}
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%- set z_num = randint(2, 10) + I*randint(2, 10)
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%- set z_denom = -randint(2, 10) + I*randint(2, 10)
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%- set z1 = z_num / z_denom
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\item Mettre le nombre complexe suivant sous forme algébrique $z_1 = \dfrac{\Var{latex(z_num)}}{\Var{latex(z_denom)}} $
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%- set base = choice([(1, sqrt(3)), (sqrt(2), sqrt(2)), (sqrt(3), 1)])
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%- set z2 = randint(1, 10)*(choice([1, -1])*base[0] + choice([1, -1])*base[1]*I)
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_2 = \Var{latex(z2)}$
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%- set base = choice([(1, sqrt(3)), (sqrt(2), sqrt(2)), (sqrt(3), 1)])
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%- set z3 = randint(1, 10)*(choice([1, -1])*base[0] + choice([1, -1])*base[1]*I)
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\item Mettre le complexe suivante sous forme exponentielle $z_3 = \Var{latex(z3)}$
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%- set z4 = z2*z3
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\item Calculer le produit $z_4=z_2\times z_3$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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%- set z5 = z2/z3
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\item Calculer le quotient $z_5=\frac{z_2}{z_3}$ donner le résultat sous forme exponentielle puis algébrique.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item $z_1 = \Var{latex(sympy.re(z1) + sympy.im(z1)*I)}$
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\item $z_3 = \Var{latex(sympy.Abs(z2))} e^{\Var{latex(I*sympy.arg(z2))}}$
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\item $z_4 = \Var{latex(sympy.Abs(z4))} e^{\Var{latex(I*(sympy.arg(z2) + sympy.arg(z3)))}} = \Var{latex(sympy.re(z4) + sympy.im(z4)*I)} = \Var{latex(sympy.N(sympy.re(z4), 3)+ sympy.N(sympy.im(z4), 3)*I)}$
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\item $z_5 = \Var{latex(sympy.Abs(z5))} e^{\Var{latex(I*(sympy.arg(z2) - sympy.arg(z3)))}} = \Var{latex(sympy.re(z5) + sympy.im(z5)*I)} = \Var{latex(sympy.N(sympy.re(z5), 3)+ sympy.N(sympy.im(z5), 3)*I)}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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%- set a = round(random()*10, 1)
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%- set b = round(random()*10, 1)
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%- set x = sympy.symbols("x")
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%- set f = -(x**2 - a*x + b)*exp(-x) + b
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%- set F = integrate(f, x)
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Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C_f}$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
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\[
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f(x) = \Var{latex(f)}
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\]
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On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
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\begin{enumerate}
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\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
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\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
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\[
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F(x) = \Var{latex(F) | replace("1.0", "")}
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\]
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\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
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\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
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\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=10,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY
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\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
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{ \Var{f} };
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\end{tikzpicture}
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\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
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%- set surf = integrate(f, (x, 0, 4))
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\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \Var{latex(surf)}$
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\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
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\[
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(\Var{latex(surf)})\times 4 \times 15^2 = \Var{round(sympy.N(surf*4*15**2, 10), 0)}
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\]
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
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%- set Vinit = randint(1, 10)*100000
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%- set tx = round((random()+1)/2, 1)
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Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
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Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{\Var{Vinit}}~dm$^3$.
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À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de \Var{tx}\,\%.
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\begin{enumerate}
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%- set v20 = int(Vinit*tx/100)
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\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{\Var{v20}}~dm$^3$ .
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%- set q = round(random()/10, 2)
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%- set c = randint(20, 60)*10
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%- set v0 = int(v20 - c)
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%- set t = sympy.symbols("t")
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%- set V = v0*exp(- q*t) + c
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%- set Vp = V.diff()
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\item On modélise le volume de CO$_2$ présent dans la pièce par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h (exprimé en minutes) qui pour formule $V(t) = V_0e^{-\Var{q}t} + \Var{c}$
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\begin{enumerate}
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\item Démontrer que $V_0$ est égale à \np{\Var{v0}}.
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%- set decal = randint(1, 4)
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\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à \Var{20+decal} h ?
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\item Démontrer que $V'(t) = \Var{latex(Vp)}$.
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\item Étudier le signe de $V'(t)$ puis en déduire le sens de variation de $V(t)$.
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\item Que peut-on dire du volume de CO$_2$ quand $t$ devient grand?
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Volume à 20h: $\Var{Vinit}\times \Var{tx/100} = \Var{v20}$
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\item
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\begin{enumerate}
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\item $t=0$ correspond à 20h.
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Donc $V(0) = \Var{v20} = V_0e^{-\Var{q}\times 0} + \Var{c} = V_0 + \Var{c}$
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Donc $V_0 = \Var{v20} - \Var{c} = \Var{v0}$
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\item Il faut calculer $V(t)$ pour $t = \Var{decal}$ donc
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\[
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V(\Var{decal}) = \Var{round(V.subs(t, str(decal)), 2)}
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\]
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\item Pas de correction pour cette question.
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\item Pas de correction pour cette question.
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\item Pas de correction pour cette question.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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