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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Fonction Expronentielle - Cours}
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\date{décembre 2020}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\section{Dérivée de la fonction exponentielle}
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\begin{definition}[ Rappel: Fonctions puissances ]
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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Soit $a$ un nombre réel positif.
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La fonction \textit{puissance} ou \textit{exponentielle} de base $a$ est la fonction
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\[
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f(x) = a^x
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\]
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Cette fonction est définie sur $\R$.
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.6, xscale=0.6]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
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ymin=0,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
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\tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]{1.5**x}
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\tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]{0.5**x}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{definition}
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Parmi cette famille de fonction une seule vérifie la condition $f'(0) = 1$ c'est la fonction exponentielle.
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\begin{definition}
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La \textbf{fonction exponentielle} notée $\exp$ est définie sur $\R$ par $\exp :x \mapsto e^x$ avec $e \approx 2.71$.
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\begin{minipage}{0.5\textwidth}
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\begin{itemize}
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\item Elle est continue et dérivable sur $\R$
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\item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
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\item $e^0 = 1$ et $e^1 = e$
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\end{itemize}
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\begin{tikzpicture}
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\tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
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{$-\infty$, $+\infty$}%
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\tkzTabVar{-/, +/}%
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
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\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
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ymin=0,ymax=5,ystep=1]
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\tkzGrid
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\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
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\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
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\tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
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\end{tikzpicture}
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\end{minipage}
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\end{definition}
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\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
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La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
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\[
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\forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
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\]
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\end{propriete}
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Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
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On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
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\subsection*{Exemple de calcul}
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Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
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\afaire{}
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\end{document}
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