2020-2021/EnsSci/DS/SVT_Math_1/correction.tex

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2020-11-16 13:20:49 +00:00
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Enseignements Scientifique \hfill DS1 \hfill Correction}
\date{Novembre 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section*{Exercice 1}
\begin{enumerate}
\item Valeurs approximatives lues dans le tableau
\begin{itemize}
\item 2015: \np{50000}
\item 2018: \np{66500}
\end{itemize}
\item Type d'évolution: arithmétique car les points semblent alignés.
\item On compare 2 modèles
\begin{multicols}{2}
Modèle géométrique
\[
\frac{54987}{50000} \approx 1,099
\]
\[
\frac{60463}{54987} \approx 1,099 \\
\]
\[
\frac{66500}{60463} \approx 1,099 \\
\]
\[
\frac{73161}{66500} \approx 1,1 \\
\]
\[
\frac{80496}{73161} \approx 1,1 \\
\]
\columnbreak
Modèle arithmétique
\[
54987 - 50000 = 4987
\]
\[
60463 - 54987 = 5476
\]
\[
66500 - 60463 = 6037
\]
\[
73161 - 66500 = 6661
\]
\[
80496 - 73161 = 7335
\]
\end{multicols}
On remarque que le modèle géométrique donne des résultats similaires ce qui n'est pas le cas pour le modèle arithmétique. Le modèle géométrique semble donc plus approprié.
\item On définit $u_n$ la suite qui modélise la population d'abeilles à partir de 2020 donc $u_n$ est géométrique de premier terme $u_0 = \np{80525}$ et de raison $q = 1,1$.
\begin{tabular}{ccc}
2020 & $\rightarrow$ & $u_0 = 80525$ \\
2021 & $\rightarrow$ & $u_1 = 80525 \times 1,1 = 88577$ \\
2025 & $\rightarrow$ & $u_5 = 80525 \times 1,1^5 = 129686$ \\
\end{tabular}
On peut à fait calculer la population en 2025 en calculant les populations de 2022, 2023 et 2024.
\item Modèle d'évolution de la population d'abeilles à partir de 2020 si des pesticides sont utilisés à proximité de la ruche.
\begin{itemize}
\item "Taux d'accroissement de la population = taux de natalité - taux de mortalité".
Le taux de natalité est de 25\%.
Le taux de mortalité sans pesticides est de 10\% et est multiplié par 2 avec des pesticides. Il est donc de 20\%.
Ainsi le taux d'accroissement est, en pourcentage, de
\[
t = 25 - 20 = 5
\]
\item Comme d'une année sur l'autre la population gagne 5\% elle est multipliée par
\[
q = 1 + \frac{5}{100} = 1,05
\]
\item On peut donc modéliser la population d'abeilles par une suite $(u_n)$ géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0 = 80525$
\item Calculer des termes suivants
\begin{tabular}{ccc}
2020 & $\rightarrow$ & $u_0 = 80525$ \\
2021 & $\rightarrow$ & $u_1 = 80525 \times 1,05 = 84551$ \\
2025 & $\rightarrow$ & $u_5 = 80525 \times 1,05^5 = 102772$ \\
\end{tabular}
\item La population grandit moins vite.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\section*{Exercice 2}
\begin{enumerate}
\item \textit{Plusieurs rédactions possibles}
\begin{itemize}
\item Population Zigzag en Suisse
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Marquage & Re-capture \\
\hline
Marqués & 150 & 16 \\
\hline
total & ? & 100 \\
\hline
\end{tabular}
\[
\mbox{Total} = \frac{150\times 100}{16} = 937
\]
\item Population Mélanique en Suisse
\[
m_1 = 160 \qquad \qqaud n_2 = 104 \qquad \qquad m_2 = 14
\]
Donc
\[
N = \frac{m_1 \times n_2}{m_2} = \frac{160\times 104}{14} = 1188
\]
\item Population Zigzag en Aubrac
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Marquage & Re-capture \\
\hline
Marqués & 200 & 20 \\
\hline
total & ? & 150 \\
\hline
\end{tabular}
\[
\mbox{Total} = \frac{200\times 150}{20} = 1500
\]
\item Population Mélanique en Aubrac
\[
m_1 = 200 \qquad \qqaud n_2 = 125 \qquad \qquad m_2 = 36
\]
Donc
\[
N = \frac{m_1 \times n_2}{m_2} = \frac{200\times 125}{36} = 694
\]
\end{itemize}
\item Pourcentage relatif de Zigzag en Suisse
\[
\frac{937}{937+1188} = 0,44
\]
Pourcentage relatif de Zigzag en Aubrac
\[
\frac{1500}{1500+694} = 0,68
\]
\end{enumerate}
\end{document}