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TeX
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\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\usepackage{tasks}
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% Title Page
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\title{DM2 \hfill COULLON Anis}
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\tribe{TST}
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\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 24 février}
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\xsimsetup{
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solution/print = false
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}
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\begin{document}
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\maketitle
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\begin{exercise}[subtitle={Loi binomiale}]
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Trois personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $0.37$.
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Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 3 personnes de ce groupe.
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\begin{enumerate}
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\item Tracer l'arbre représentant le situation.
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\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
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\item Quelle est la probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique?
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\item Calculer puis interpréter les probabilités suivantes
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\[
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P(X = 0) \qquad \qquad P(X \geq 2)
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\]
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\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item
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\begin{tikzpicture}[sloped]
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\node {.}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.37}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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child[missing] {}
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child {node {$1$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.37}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child[missing] {}
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child { node {$1$}
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child {node {$0$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.37}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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child[missing] {}
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child {node {$1$}
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child {node {$0$}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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|
}
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child {node {$1$}
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edge from parent
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node[above] {0.37}
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}
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edge from parent
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node[above] {0.63}
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}
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|
edge from parent
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node[above] {0.37}
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} ;
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\end{tikzpicture}
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\item Chaque personne a 2 possibilités (1: fait sonner ou 2: ne fait pas sonner) et l'on fait passer 3 personnes ce qui correspond à une répétition identique et aléatoire. On peut donc modéliser la situation par une loi binomiale.
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\[
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X \sim \mathcal{B}(3; 0.76)
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\]
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\item Probabilité qu'une seule personne fasse sonner le portique. On voit qu'il y a 3 branches qui correspondent à cette situation dont
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\[
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P(X = 1) = 3 \times 0.37^1 \times 0.63^2 \approx 0.441
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\]
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\item
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\[
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P(X = 0) = 0.63^3 \approx 0.25
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\]
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\[
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|
P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 3 \times 0.37^2 \times 0.63^1 + 0.37^3 \approx 0.31
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\]
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\item Il faut d'abord tracer le tableau résumant la loi de probabilité:
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|c|*{4}{c|}}
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\hline
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Valeur & 0 & 1 & 2 & 3 \\
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\hline
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Probabilité & $0.25$ & $0.441$ & $0.259$ &$0.051$ \\
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\hline
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\end{tabular}
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\end{center}
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On peut alors calculer l'espérance
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\[
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E[X] = 0 \times 0.25 + 1 \times 0.441 + 2 \times 0.259 + 3 \times 0.051 = 1.11
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\]
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On peut donc estimer qu'il y aura en moyenne $1.11$ personnes qui feront sonner le portique sur les 3 personnes.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Équation puissance}]
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Résoudre les équations et inéquations suivantes
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\begin{multicols}{2}
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\begin{enumerate}
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\item $10^x = 10$
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\item $19^x = 35$
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\item $0.59^x \leq 32$
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\item $4 \times 0.92^x = 16$
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\end{enumerate}
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|
\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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Les solutions ci-dessous ne sont pas justifiée car l'ordinateur ne sait pas faire. Par contre, vous vous devez savoir justifier vos réponses!
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\begin{enumerate}
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\item $x = \log(10)$
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\item $x = \frac{\log(35)}{\log(19)}$
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\item Il faut faire attention quand on divise par un log car ce dernier peut être négatif ce qui est le cas ici. Il faut donc pense à changer le sens de l'inégalité.
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$x \geq \frac{\log(32)}{\log(0.59)}$
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\item Il faut penser à faire la division à par $4$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.
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$x = \frac{\log(4.0)}{\log(0.92)}$
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
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Soit $f(x) = x^3 - 45x^2 + 648x - 33$ une fonction définie sur $\R$.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
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\item Calculer $f'(18)$ et $f'(12)$.
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\item En déduire une forme factorisée de $f'(x)$.
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\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f(x)$.
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\item Est-ce que la fonction $f(x)$ admet un maximum ou un minimum? Si oui, calculer sa valeur.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{solution}
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\begin{enumerate}
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\item Dérivée de $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - 90x + 648$
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\item
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\begin{align*}
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f'(18) &= 3 \times 18^{2} - 90 \times 18 + 648\\&= 3 \times 324 - 1620 + 648\\&= 972 - 972\\&= 0
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\end{align*}
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\begin{align*}
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f'(12) &= 3 \times 12^{2} - 90 \times 12 + 648\\&= 3 \times 144 - 1080 + 648\\&= 432 - 432\\&= 0
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\end{align*}
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Donc $x = 18$ et $x=12$ sont des racines de $f'(x) = 3x^2 - 90x + 648$.
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\item On en déduit la forme factorisée suivante
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\[
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f'(x) = 3 (x - 18)(x-12)
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\]
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\item Pas de correction disponible
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\item À causes des branches extérieurs, la fonction $f(x)$ n'a pas de maximum ou de minimum.
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\end{enumerate}
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\end{solution}
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%\printsolutionstype{exercise}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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