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3.9 KiB
TeX
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Manipulations techniques}, step={1}, origin={Créations}, topics={Logarithme}, tags={exponentielle, logarithme}]
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\begin{enumerate}
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\item Mettre sous la forme $a\times e^b$
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
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\item $B=e^3 + 5e^3$
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\item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
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\item $D= e^4 - (3e^2)^2$
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\item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
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\item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Réduire les expressions
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
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\item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
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\item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
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\item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
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\item $E=e^{-x}(e^x-1)$
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\item $F=(e^x+1)^2$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Factoriser
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $A = x^2e^x + 2e^x$
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\item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
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\item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\item Résoudre les équations et inéquations
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $e^{2x+1} = e^{x}$
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\item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
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\item $e^{2x+1} = e$
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\item $e^{-x} - 1\geq 0$
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\item $e^x(e^x-1) = 0$
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\item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
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\item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
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\item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
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On fixe $\tau = 2$.
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\begin{enumerate}
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\item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
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\item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
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\item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
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\item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
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\item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
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On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
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\begin{enumerate}
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\item Calculer et interpréter $c(0)$.
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\item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
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\item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
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\item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
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\item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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