2020-2021/TST/DS/DS_20_12_11/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}, points=5, tribe={TST1}, type={automatismes}]
    \begin{enumerate}
        \item Un article de mode est vendu en solde 135\euro. Les vendeurs expliquent qu'il est soldé à 20\%. Quel était son prix avant les soldes?
            \vfill
        \item Simplifier le calcul suivant
            \[
                \frac{5^4 \times 5^{-3}}{5^2 \times 5^6} &=
            \]
            \vfill
        \item Soit $X$ la variable aléatoire dont la loi de probabilité est résumé pas le tableau suivant
            \begin{center}
                \begin{tabular}{|c|*{3}{p{2cm}|}}
                    \hline
                    $x_i$ & -3 & 2 & 5 \\
                    \hline
                    $p_i$ & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
                    \hline
                \end{tabular}
            \end{center}
            Calculer la valeur de $P(X > 0)$.
            \vfill
        \item Calculer la moyenne géométrique de $a=3$ et $b=9$.
            \vfill
        \item Soit $(d)$ la droite d'équation $y = 4x + 1$. Est-ce que le point $A(3; 11)$ appartient à la droite?
            \vfill
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Fonctions polynômes}, points=8, tribe={TST1}, type={Exercise}]
    Soit $f$ la fonction définie sur $\intFF{0}{5}$ par 
    \[
        f(x) = x^3 - 7,5x^2 + 18x - 11,5
    \]
    \begin{enumerate}
        \item Calculer $f(1)$ puis interpréter.
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item Calculer $f'(x)$ la dérivée de $f(x)$.
                \item Démontrer que $x=3$ et $x=2$ sont des racines de $f'(x)$.
            \end{enumerate}
            Dans la suite, on supposera que l'on a $f'(x) = 3(x-3)(x-2)$.
            \begin{enumerate}
                \setcounter{enumii}{2}
                \item Tracer le tableau de signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ sur $\intFF{0}{5}$.
            \end{enumerate}
        \item (Vrai/faux) Les phrases suivantes sont-elles vraies ou fausses. Vous justifierez vos réponses.
            \begin{enumerate}
                \item $f$ est croissante sur l'intervalle $\intFF{0}{2}$ et décroissante sur l'intervalle $\intFF{2}{3}$.
                \item $f$ est une fonction polynôme de degré 2.
                \item $f(x)$ a pour maximum 2,5.
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Placements}, points=7, tribe={TST1}, type={Exercise}]
    \begin{enumerate}
        \item Bob a placé, en 2015, \np{2000}\euro sur un compte avec un rendement de 2,5\% par ans.
            \begin{enumerate}
                \item Quel sera le solde du compte en 2016, et 2020?
                \item Si on modélise le solde du compte par la suite $(u_n)$. Quelle est la nature de la suite? Préciser les paramètres.
                \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
            \end{enumerate}
        \item Sa copine Sarah a fait un placement similaire qui a débuté en 2015. On note $v_n$ la suite qui modélise le solde de son compte. On supposera qu'elle est géométrique et on a les valeurs suivantes
            \[
                u_1 = 2500 \qquad \qquad u_3 = 2700
            \]
            \begin{enumerate}
                \item Calculer la moyenne géométrique de $u_1$ et de $u_3$ pour démontrer que  la valeur de $u_2$ est d'environ \np{2598}.
                \item Démontrer que la raison de la suite est $q=1,39$.
                \item En déduire le rendement du placement de Sarah.
                \item Quelle était la somme que Sarah a placé sur son compte en 2015?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}


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