2020-2021/TST/06_Prolongement_geometrique_vers_exponentiel/exercises.tex

\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Isolation phonique}, step={1}, origin={???}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
    L'unité d'intensité du son sera en décibel (dB). Une source sonore émet un son.

    Pour éviter les nuisances, on dispose d'un isolant phonique qui absorbe 10\% de l'intensité du son par centimètre d'épaisseur.
     
    On mesure qu'après 2cm d'isolant l'intensité sonore est de 100dB.

    \begin{enumerate}
        \item Quelle est l'intensité sonore après 3cm d'isolant phonique? 4cm?
        \item Quelle est l'intensité sonore sans isolation phonique? Avec seulement 1cm?
        \item Quelle est l'intensité sonore avec 2,5cm d'isolant phonique?
        \item Proposer une formule pour calculer l'intensité sonore.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Croissance d'une entreprise}, step={1}, origin={Création}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
    Une entreprise a une croissance exponentielle. Sa richesse est multipliée par 1,5 chaque année. En 2020, elle valait \np{1 000 000} d'euro.

    \begin{enumerate}
        \item Quelle est sa richesse en 2021? 2022? 2030?
        \item Quelle est sa richesse en 2019? 2018? 2010?
        \item Quelle est sa richesse au milieu de l'année 2020? Au milieu de l'année 2019?
        \item Proposer une formule pour calculer sa richesse à n'importe quel moment.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Représentation graphique des fonctions puissances}, step={2}, origin={Création}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
    \begin{enumerate}
        \item Pour les 8 fonctions suivantes, calculer les images de -1, 0, 1, 2 et 0.5 puis tracer l'allure des fonctions sur un même graphique en identifiant clairement chaque fonction (on prendra $x$ en -2 et 2).
            \begin{multicols}{3}
                \begin{enumerate}
                    \item $f(x) = 0.3^x$
                    \item $g(x) = 0.7^x$

                    \item $h(x) = 2^x$
                    \item $i(x) = 4^x$

                    \item $j(x) = -2^x$
                    \item $k(x) = -0.7^x$

                    \item $l(x) = 3\times 0.7^x$
                    \item $m(x) = -3\times 0.7^x$
                \end{enumerate}
            \end{multicols}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Lien entre la fonction et le graphique}, step={2}, origin={Création}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
    \begin{minipage}{0.4\linewidth}
        On a représenter graphiquement ci-contre 5 fonctions puissance. Vous devez relier chaque graphique avec une des fonction ci-dessous..

        \begin{itemize}
            \item $f(x) = 3^x$
            \item $g(x) = 1,5^x$
            \item $h(x) = 0.1^x$
            \item $i(x) = 2^x$
            \item $j(x) = 0.8^x$
        \end{itemize}
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
     \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=1.5]
            \tkzInit[xmin=-3,xmax=3,xstep=1,
            ymin=0,ymax=5,ystep=1]
            \tkzGrid
            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
            \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{3**x}
            \tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]{1.5**x}
            \tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]{0.1**x}
            \tkzFct[domain = -5:5,color=green,very thick]{2**x}
            \tkzFct[domain = -5:5,color=gray,very thick]{0.8**x}
        \end{tikzpicture}   
    \end{minipage}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Simplifications}, step={3}, origin={Création}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
    Mettre les quantités suivantes sous la forme $a\times b^n$.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A=5^2\times 5^{-3}\times 5^5$
            \item $B=\dfrac{1,5^3}{1,5^6}$
            \item $C=(2^2)^5 \times 2^{-3}$
            \item $D= 2^4 - (2^2)^2$
            \item $E=2\times10^3 + 10^3$
            \item $F=1,5^{10} + 3(1,5^2)^5$
        \end{enumerate}
    \end{multicols} 
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Réduction}, step={3}, origin={Création}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
    Réduire les expressions suivantes pour obtenir des fonctions et reconnaître les fonctions puissances.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A=10^x + 10^x + 10^x$
            \item $B=(2^x)^3$
            \item $C=3\times 2^x + 10 \times 2^x$
            \item $D=x\times 5^x + 2 \times 5^x$
            \item $E=(x+1)\times10^x + 2x \times 10^x$
            \item $F=2^2x\times 2^{x -1}$
        \end{enumerate}
    \end{multicols} 
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Concentration dans le sange}, step={3}, origin={Création}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
        On injecte dans le sang d'un patient une dose de 4mg d'un médicament. On suppose que le médicament se répartit instantanément dans le sang.

        On note $t$ le temps écoulé en minutes depuis l'injection et on modélise la quantité $Q(t)$ (en mg) de médicament présent dans le sang par la fonction définie sur $\intFO{0}{+\infty}$.
        \[
            Q(t) = 4\times0.85^t
        \]
        \begin{enumerate}
            \item Calculer et interpréter $Q(0)$, $Q(10)$, $Q(5,5)$.
            \item Quel est le sens de variation de $Q$. Interpréter ce résultat.
            \item Quelle est la quantité de médicament dans le sang 1h30 après l'injection?
            \item Le médicament n'est plus efficace si sa quantité est inférieur à 1mg. Au bout de combien de temps va-t-il devenir inefficace?
        \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Applications directes}, step={4}, origin={Création}, topics={Prolongement géométrique vers exponentiel}, tags={exponentiel, suite, programmation}]
    Les questions suivantes peuvent être traité de façon indépendantes.
    \begin{enumerate}
        \item Le chiffre d'affaire d'une entreprise a augmenté de 20\% en 10ans. Quel a été le taux d'évolution moyen annuel?
        \item On sait qu’entre 2002 et 2009, le nombre d’internautes en Chine est passé de 60 millions à 385 millions.
            \begin{enumerate}
                \item Quel est le taux d'évolution global du nombre d'internautes?
                \item Calculer le taux d’évolution moyen annuel du nombre d’internautes en Chine entre 2002 et 2009.
            \end{enumerate}
        \item On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015. En 2011, il y avait 620 214 abonnés. En 2015, il y en avait 555 239.
            \begin{enumerate}
                \item Quel est le taux d'évolution global du nombre d'abonnement?
                \item Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’abonnés entre 2011 et 2015.
            \end{enumerate}
        \item Une quantité a connait un taux d'évolution moyen de 2\% par ans.
            \begin{enumerate}
                \item Cette quantité vaut 234\euro en 2010. Combien va-t-elle valoir en 2015?
                \item Quel est le taux d'évolution global entre 2010 et 2015?
                \item Quel est le taux d'évolution global entre 2010 et 2020?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}


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