2020-2021/TST/DM/2010_DM1/TST1/03_2010_DM1.tex

\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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\usepackage{tasks}

% Title Page
\title{DM1 \hfill BALLOFFET Kenza}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 10}{3} - \dfrac{8}{3}$
            \item $B = \dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{15}$

            \item $C = \dfrac{1}{4} + \dfrac{- 3}{3}$
            \item $D = \dfrac{6}{10} + 10$

            \item $E = \dfrac{- 7}{2} \times \dfrac{5}{1}$
            \item $F = \dfrac{2}{4} \times 1$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{3} - \dfrac{8}{3}=\dfrac{- 10}{3} - \dfrac{8}{3}=\dfrac{- 10 - 8}{3}=\dfrac{- 10 - 8}{3}=\dfrac{- 18}{3}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{15}=\dfrac{3}{3} - \dfrac{2}{15}=\dfrac{3 \times 5}{3 \times 5} - \dfrac{2}{15}=\dfrac{15}{15} - \dfrac{2}{15}=\dfrac{15 - 2}{15}=\dfrac{15 - 2}{15}=\dfrac{13}{15}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{4} + \dfrac{- 3}{3}=\dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{- 3 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{3}{12} + \dfrac{- 12}{12}=\dfrac{3 - 12}{12}=\dfrac{- 9}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{10} + 10=\dfrac{6}{10} + \dfrac{10}{1}=\dfrac{6}{10} + \dfrac{10 \times 10}{1 \times 10}=\dfrac{6}{10} + \dfrac{100}{10}=\dfrac{6 + 100}{10}=\dfrac{106}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{2} \times \dfrac{5}{1}=\dfrac{- 7 \times 5}{2 \times 1}=\dfrac{- 35}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{4} \times 1=\dfrac{2}{4}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (7x - 8)(- 3x - 8)$
            \item $B = (5x + 7)(- 9x + 7)$

            \item $C = (- 10x - 9)^{2}$
            \item $D = 1 + x(8x + 2)$

            \item $E = 10x^{2} + x(- 6x - 4)$
            \item $F = 1(x - 7)(x + 5)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (7x - 8)(- 3x - 8)\\&= 7x \times - 3x + 7x \times - 8 - 8 \times - 3x - 8 \times - 8\\&= 7 \times - 3 \times x^{1 + 1} - 8 \times 7 \times x - 8 \times - 3 \times x + 64\\&= - 56x + 24x - 21x^{2} + 64\\&= (- 56 + 24) \times x - 21x^{2} + 64\\&= - 21x^{2} - 32x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (5x + 7)(- 9x + 7)\\&= 5x \times - 9x + 5x \times 7 + 7 \times - 9x + 7 \times 7\\&= 5 \times - 9 \times x^{1 + 1} + 7 \times 5 \times x + 7 \times - 9 \times x + 49\\&= 35x - 63x - 45x^{2} + 49\\&= (35 - 63) \times x - 45x^{2} + 49\\&= - 45x^{2} - 28x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 10x - 9)^{2}\\&= (- 10x - 9)(- 10x - 9)\\&= - 10x \times - 10x - 10x \times - 9 - 9 \times - 10x - 9 \times - 9\\&= - 10 \times - 10 \times x^{1 + 1} - 9 \times - 10 \times x - 9 \times - 10 \times x + 81\\&= 90x + 90x + 100x^{2} + 81\\&= (90 + 90) \times x + 100x^{2} + 81\\&= 100x^{2} + 180x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 1 + x(8x + 2)\\&= 1 + x \times 8x + x \times 2\\&= 8x^{2} + 2x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 10x^{2} + x(- 6x - 4)\\&= 10x^{2} + x \times - 6x + x \times - 4\\&= 10x^{2} - 6x^{2} - 4x\\&= 10x^{2} - 6x^{2} - 4x\\&= (10 - 6) \times x^{2} - 4x\\&= 4x^{2} - 4x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 1(x - 7)(x + 5)\\&= (x - 7)(x + 5)\\&= x \times x + x \times 5 - 7x - 7 \times 5\\&= x^{2} - 35 + (5 - 7) \times x\\&= x^{2} - 2x - 35
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 9x^{2} + 54x - 72$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 9 \times 1^{2} + 54 \times 1 - 72=- 9 \times 1 + 54 - 72=- 9 - 18=- 27
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 9 \times - 1^{2} + 54 \times - 1 - 72=- 9 \times 1 - 54 - 72=- 9 - 126=- 135
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



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\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
%%% End: