2020-2021/TST_sti2d/05_Fonction_Exponentielle/1B_fonction_exp.tex

91 lines
2.8 KiB
TeX
Raw Normal View History

\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Fonction Expronentielle - Cours}
\date{décembre 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\section{Dérivée de la fonction exponentielle}
\begin{definition}[ Rappel: Fonctions puissances ]
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
Soit $a$ un nombre réel positif.
La fonction \textit{puissance} ou \textit{exponentielle} de base $a$ est la fonction
\[
f(x) = a^x
\]
Cette fonction est définie sur $\R$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.6, xscale=0.6]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
\tkzFct[domain = -5:5,color=blue,very thick]{1.5**x}
\tkzFct[domain = -5:5,color=red,very thick]{0.5**x}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{definition}
Parmi cette famille de fonction une seule vérifie la condition $f'(0) = 1$ c'est la fonction exponentielle.
\begin{definition}
La \textbf{fonction exponentielle} notée $\exp$ est définie sur $\R$ par $\exp :x \mapsto e^x$ avec $e \approx 2.71$.
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
\begin{itemize}
\item Elle est continue et dérivable sur $\R$
\item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
\item $e^0 = 1$ et $e^1 = e$
\end{itemize}
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
{$-\infty$, $+\infty$}%
\tkzTabVar{-/, +/}%
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
\tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
ymin=0,ymax=5,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
\tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
\tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\end{definition}
\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
\[
\forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
\]
\end{propriete}
Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
\subsection*{Exemple de calcul}
Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
\afaire{}
\end{document}