Feat: exercices typeEC sur les polynômes

TST/05_Etude_Polynomes/2E_racine_factoriser.tex

@@ -7,81 +7,15 @@
 
 \pagestyle{empty}
 
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
 \begin{document}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
+\input{exercises.tex}
-    Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
+\printcollection{banque}
-    \begin{multicols}{3}
-        \begin{enumerate}
-            \item $f(x) = (x+4)(x-2)$
-            \item $g(x) = (x-3)(x-8)$
-            \item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
-            \item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
-            \item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
-            \item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
-        \end{enumerate}
-    \end{multicols}
-\end{exercise}
-
-\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
-    Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier    
-    \begin{enumerate}
-        \item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
-        \item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
-        \item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
-        \item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
-        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
-        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
-    \end{enumerate}
-\end{exercise}
-
-\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}]
-    \begin{enumerate}
-        \item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
-            \[
-                f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
-            \]
-            \begin{enumerate}
-                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
-                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
-                \item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
-            \end{enumerate}
-        \item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
-            \[
-                h(x) = x^2 + 2x - 15
-            \]
-            \begin{enumerate}
-                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
-                \item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
-                \item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
-                \item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
-            \end{enumerate}
-    \end{enumerate}
-\end{exercise}
-
-\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
-    Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
-    \begin{enumerate}
-        \item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
-            \begin{enumerate}
-                \item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
-                \item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
-                    \[
-                        -3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
-                    \]
-                \item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
-                \item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
-            \end{enumerate}
-        \item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
-            \begin{enumerate}
-                \item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
-                \item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
-                \item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
-                \item Étudier le signe de $g(x)$.
-            \end{enumerate}
-    \end{enumerate}
-\end{exercise}
-
 \end{document}
 
 %%% Local Variables: 

TST/05_Etude_Polynomes/3E_typeEC.tex

@@ -0,0 +1,25 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\title{Polynômes - Racine Factoriser}
+\tribe{TST}
+\date{Novembre 2020}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=3,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\end{document}
+
+%%% Local Variables: 
+%%% mode: latex
+%%% TeX-master: "master"
+%%% End:
+

TST/05_Etude_Polynomes/exercises.tex

@@ -1,5 +1,5 @@
 \collectexercises{banque}
-\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
     Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
     \begin{multicols}{3}
         \begin{enumerate}
@@ -18,7 +18,7 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
     On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
     \[
         f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
@@ -30,7 +30,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
+\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
     On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
     \[
         f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
@@ -89,4 +89,170 @@
             \end{enumerate}
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Développer}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
+    Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = (x+4)(x-2)$
+            \item $g(x) = (x-3)(x-8)$
+            \item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
+            \item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
+            \item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
+            \item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
+    Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier    
+    \begin{enumerate}
+        \item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
+        \item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
+        \item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
+        \item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
+        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
+        \item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
+            \[
+                f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
+                \item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
+                \item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
+            \end{enumerate}
+        \item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
+            \[
+                h(x) = x^2 + 2x - 15
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
+                \item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
+                \item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
+                \item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
+    Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
+    \begin{enumerate}
+        \item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
+                \item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
+                    \[
+                        -3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
+                    \]
+                \item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
+                \item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
+            \end{enumerate}
+        \item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
+            \begin{enumerate}
+                \item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
+                \item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
+                \item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
+                \item Étudier le signe de $g(x)$.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Constructeur de Machins}, step={3}, origin={Nathan 2ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
+    Une entreprise fabrique des \textit{machins}. Chaque jour, elle peut en produire entre 0 et 80 tonnes.
+
+    Le coût de fabrication, en euros, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction $C(x)$ représentée dans le graphique ci-dessous.
+
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{enumerate}
+            \item \textbf{Lecture graphique:} Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
+                \begin{enumerate}
+                    \item Combien coûte la production de 50tonnes de \textit{machins}.
+                    \item Quelle quantité de \textit{machins} peut-on produire pour une coût de fabrication de \np{100000}\euro?
+                \end{enumerate}
+            \item \textbf{Étude des recettes:} Une tonne de \textit{machins} est vendue \np{1900}\euros. La recette pour $x$ tonnes peut donc être modélisée par la fonction $R(x) = 1900x$.
+                \begin{enumerate}
+                    \item Reproduire la représentation graphique de la fonction $R(x)$.
+                    \item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices en produisant 10tonnes?
+                    \item Déterminer graphiquement les productions où ses bénéfices sont positifs.
+                \end{enumerate}
+        \end{enumerate}
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\linewidth}
+        \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.4]
+            \tkzInit[xmin=0,xmax=80,xstep=5,
+            ymin=0,ymax=160000,ystep=10000]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY
+            \tkzFct[domain=0:80,color=red,very thick]%
+            { \x**3 - 105*\x**2 + 3700*\x + 4000 };
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{enumerate}
+        \setcounter{enumi}{2}
+    \item \textbf{Étude des bénéfices:} On admet que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction $B(x) = -x^3 + 105x^2 -1800x - 4000$ sur $\intFF{0}{80}$.
+        \begin{enumerate}
+            \item Calculer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
+            \item Calculer $B'(10)$ et $B'(60)$
+            \item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
+            \item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
+            \item Compléter le tableau de variations de $B(x)$ avec les valeurs au bout des flèches.
+            \item  Quelle quantité doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal. Que vaut ce bénéfice?
+        \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Producteur de carottes}, step={3}, origin={Nathan 1ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
+    Une entrepise produit et vend des carottes. Elle a la capacité de produire entre 0 et 16 tonnes.
+
+    Le coût de production, en euro, de $x$ tonnes est modélisé par la fonnction
+    \[
+        C(x) = x^3 - 15x^2 + 78xx -650
+    \]
+    Chaque tonne de carottes est vendue 150\euro.
+    \begin{enumerate}
+        \item \textbf{Production de 3 tonnes de carottes}
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer le coût de production de 3 tonnes de carottes.
+                \item Déterminer les revenus de la vente de 3 tonnes.
+                \item En déduire les bénéfices. L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices?
+            \end{enumerate}
+        \item \textbf{Étude des bénéfices}
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer l'expression des revenus $R(x)$ pour $x$ tonnes de carottes vendues.
+                \item En déduire que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction
+                    \[ B(x) = -x^3 + 15x^2 + 72x + 650 \]
+                \item Calculer $B'(x)$
+                \item Calculer $B'(-2)$ et $B'(12)$. En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
+                \item Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire les variations de $B(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 16.
+                \item Quelles quantité de carottes doivent être vendues pour avoir un bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}, step={3}, origin={Création}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
+    \notindent
+    \begin{minipage}{0.6\linewidth}
+        \textit{Cet exercice est une tache complexe. C'est à vous d'explorer et de mettre les maths qui vous semblent appropriés pour résoudre le problème}.
+
+        \medskip
+
+        On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.
+
+
+        Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible?
+
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.3\linewidth}
+    \includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}
+        
+    \end{minipage}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST/05_Etude_Polynomes/index.rst

@@ -27,7 +27,7 @@ Exercices techniques:
 
 Vidéos sur quelques méthodes:
 
-- `développer au delà du double développement  <https://video.opytex.org/videos/watch/7392f2cf-da8f-4159-95de-36ecf4d57f4e>`_
+- `Développer au delà du double développement  <https://video.opytex.org/videos/watch/7392f2cf-da8f-4159-95de-36ecf4d57f4e>`_
 - `Étude de signe d'une forme factorisée <https://video.opytex.org/videos/watch/eba8890f-3541-441a-b922-908040ab2119>`_
 
 Étape 2: Factorisation d'un polynôme de degré 2 et 3, racines
@@ -45,11 +45,16 @@ Exercices techniques:
     :height: 200px
     :alt: Exercices sur l'étude des racines et la factorisation des polynômes.
 
-Étape 3: Étude de signe d'un polynôme de degré 3
+Vidéos sur quelques méthodes:
-================================================
 
-Factorisation puis étude de signe
+- Vérifier qu'une valeur est une racine d'un polynôme
+- Factoriser un polynôme
 
-Étape 4: Problèmes utilisant des polynômes
+Étape 3: Problèmes utilisant des polynômes
 ==========================================
 
+.. image:: ./3E_typeEC.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices types EC sur les polynômes
+
+