Feat: exercices typeEC sur les polynômes
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\pagestyle{empty}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=2,
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}
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\begin{document}
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\begin{exercise}[subtitle={Développer}]
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Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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\item $f(x) = (x+4)(x-2)$
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\item $g(x) = (x-3)(x-8)$
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\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
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\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
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\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
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\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
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\end{enumerate}
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines}]
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Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
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\begin{enumerate}
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\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
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\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
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||||
\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
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\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
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||||
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}]
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\begin{enumerate}
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\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
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\[
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f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
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\]
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\begin{enumerate}
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||||
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
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\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
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||||
\item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
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\end{enumerate}
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\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
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\[
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h(x) = x^2 + 2x - 15
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\]
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\begin{enumerate}
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||||
\item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
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||||
\item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
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||||
\item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
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||||
\item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
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||||
\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}]
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||||
Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
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\begin{enumerate}
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||||
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
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||||
\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
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\[
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||||
-3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
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\]
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||||
\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
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||||
\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
|
||||
\item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
|
||||
\item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
|
||||
\item Étudier le signe de $g(x)$.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\end{document}
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%%% Local Variables:
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BIN
TST/05_Etude_Polynomes/3E_typeEC.pdf
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BIN
TST/05_Etude_Polynomes/3E_typeEC.pdf
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TST/05_Etude_Polynomes/3E_typeEC.tex
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@ -0,0 +1,25 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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||||
\title{Polynômes - Racine Factoriser}
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\tribe{TST}
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\date{Novembre 2020}
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\pagestyle{empty}
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||||
\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=3,
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}
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||||
\begin{document}
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||||
\input{exercises.tex}
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||||
\printcollection{banque}
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||||
\end{document}
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%%% Local Variables:
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%%% mode: latex
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%%% TeX-master: "master"
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%%% End:
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@ -1,5 +1,5 @@
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\collectexercises{banque}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
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\begin{multicols}{3}
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\begin{enumerate}
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@ -18,7 +18,7 @@
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\end{multicols}
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\end{exercise}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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||||
On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
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\[
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||||
f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
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||||
@ -30,7 +30,7 @@
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\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
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||||
On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
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||||
\[
|
||||
f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
|
||||
@ -89,4 +89,170 @@
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Développer}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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||||
Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
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||||
\begin{multicols}{3}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $f(x) = (x+4)(x-2)$
|
||||
\item $g(x) = (x-3)(x-8)$
|
||||
\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
|
||||
\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
|
||||
\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
|
||||
\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{multicols}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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||||
Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
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||||
\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
|
||||
\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
|
||||
\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
|
||||
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
|
||||
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
|
||||
\[
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||||
f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
|
||||
\]
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
|
||||
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
|
||||
\item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
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||||
\[
|
||||
h(x) = x^2 + 2x - 15
|
||||
\]
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
|
||||
\item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
|
||||
\item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
|
||||
\item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
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||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
|
||||
Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
|
||||
\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
|
||||
\[
|
||||
-3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
|
||||
\]
|
||||
\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
|
||||
\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
|
||||
\item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
|
||||
\item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
|
||||
\item Étudier le signe de $g(x)$.
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Constructeur de Machins}, step={3}, origin={Nathan 2ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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Une entreprise fabrique des \textit{machins}. Chaque jour, elle peut en produire entre 0 et 80 tonnes.
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Le coût de fabrication, en euros, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction $C(x)$ représentée dans le graphique ci-dessous.
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\noindent
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{enumerate}
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||||
\item \textbf{Lecture graphique:} Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Combien coûte la production de 50tonnes de \textit{machins}.
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||||
\item Quelle quantité de \textit{machins} peut-on produire pour une coût de fabrication de \np{100000}\euro?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\item \textbf{Étude des recettes:} Une tonne de \textit{machins} est vendue \np{1900}\euros. La recette pour $x$ tonnes peut donc être modélisée par la fonction $R(x) = 1900x$.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Reproduire la représentation graphique de la fonction $R(x)$.
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||||
\item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices en produisant 10tonnes?
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||||
\item Déterminer graphiquement les productions où ses bénéfices sont positifs.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{minipage}
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||||
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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||||
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.4]
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||||
\tkzInit[xmin=0,xmax=80,xstep=5,
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||||
ymin=0,ymax=160000,ystep=10000]
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||||
\tkzGrid
|
||||
\tkzAxeXY
|
||||
\tkzFct[domain=0:80,color=red,very thick]%
|
||||
{ \x**3 - 105*\x**2 + 3700*\x + 4000 };
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\setcounter{enumi}{2}
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||||
\item \textbf{Étude des bénéfices:} On admet que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction $B(x) = -x^3 + 105x^2 -1800x - 4000$ sur $\intFF{0}{80}$.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Calculer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
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||||
\item Calculer $B'(10)$ et $B'(60)$
|
||||
\item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
|
||||
\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
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||||
\item Compléter le tableau de variations de $B(x)$ avec les valeurs au bout des flèches.
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||||
\item Quelle quantité doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal. Que vaut ce bénéfice?
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{exercise}
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||||
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||||
\begin{exercise}[subtitle={Producteur de carottes}, step={3}, origin={Nathan 1ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
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||||
Une entrepise produit et vend des carottes. Elle a la capacité de produire entre 0 et 16 tonnes.
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||||
Le coût de production, en euro, de $x$ tonnes est modélisé par la fonnction
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||||
\[
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||||
C(x) = x^3 - 15x^2 + 78xx -650
|
||||
\]
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||||
Chaque tonne de carottes est vendue 150\euro.
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item \textbf{Production de 3 tonnes de carottes}
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||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Déterminer le coût de production de 3 tonnes de carottes.
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||||
\item Déterminer les revenus de la vente de 3 tonnes.
|
||||
\item En déduire les bénéfices. L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices?
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\item \textbf{Étude des bénéfices}
|
||||
\begin{enumerate}
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||||
\item Déterminer l'expression des revenus $R(x)$ pour $x$ tonnes de carottes vendues.
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||||
\item En déduire que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction
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||||
\[ B(x) = -x^3 + 15x^2 + 72x + 650 \]
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||||
\item Calculer $B'(x)$
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||||
\item Calculer $B'(-2)$ et $B'(12)$. En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
|
||||
\item Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire les variations de $B(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 16.
|
||||
\item Quelles quantité de carottes doivent être vendues pour avoir un bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice?
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||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}, step={3}, origin={Création}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
|
||||
\notindent
|
||||
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||
\textit{Cet exercice est une tache complexe. C'est à vous d'explorer et de mettre les maths qui vous semblent appropriés pour résoudre le problème}.
|
||||
|
||||
\medskip
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||||
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||||
On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.
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||||
|
||||
|
||||
Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible?
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
|
||||
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}
|
||||
|
||||
\end{minipage}
|
||||
\end{exercise}
|
||||
|
||||
\collectexercisesstop{banque}
|
||||
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BIN
TST/05_Etude_Polynomes/fig/boite.pdf
Normal file
BIN
TST/05_Etude_Polynomes/fig/boite.pdf
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310
TST/05_Etude_Polynomes/fig/boite.svg
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@ -27,7 +27,7 @@ Exercices techniques:
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Vidéos sur quelques méthodes:
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- `développer au delà du double développement <https://video.opytex.org/videos/watch/7392f2cf-da8f-4159-95de-36ecf4d57f4e>`_
|
||||
- `Développer au delà du double développement <https://video.opytex.org/videos/watch/7392f2cf-da8f-4159-95de-36ecf4d57f4e>`_
|
||||
- `Étude de signe d'une forme factorisée <https://video.opytex.org/videos/watch/eba8890f-3541-441a-b922-908040ab2119>`_
|
||||
|
||||
Étape 2: Factorisation d'un polynôme de degré 2 et 3, racines
|
||||
@ -45,11 +45,16 @@ Exercices techniques:
|
||||
:height: 200px
|
||||
:alt: Exercices sur l'étude des racines et la factorisation des polynômes.
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||||
|
||||
Étape 3: Étude de signe d'un polynôme de degré 3
|
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================================================
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Vidéos sur quelques méthodes:
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||||
Factorisation puis étude de signe
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||||
- Vérifier qu'une valeur est une racine d'un polynôme
|
||||
- Factoriser un polynôme
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||||
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||||
Étape 4: Problèmes utilisant des polynômes
|
||||
Étape 3: Problèmes utilisant des polynômes
|
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==========================================
|
||||
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||||
.. image:: ./3E_typeEC.pdf
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:height: 200px
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||||
:alt: Exercices types EC sur les polynômes
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