Feat: fin du chapitre sur la loi binomiale pour les TST
continuous-integration/drone/push Build is passing
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continuous-integration/drone/push Build is passing
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5e3e7b7484
commit
2a7d2b9dba
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@ -11,27 +11,7 @@
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\maketitle
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\setcounter{2}
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\subsection*{Formule pour calculer des probabilité}
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\begin{propriete}
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Soit $X \sim \mathcal{B} (n; p)$ une variable aléatoire, alors on peut calculer la probabilité avec la formule suivante
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\\[2cm]
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\end{propriete}
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\paragraph{Exemples}
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Soit $X \sim \mathcal{B}(3; 0.9)$ la variable aléatoire utiliser pour modéliser l'exemple précédent.
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\[
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P(X = 0) =
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\]
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\[
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P(X = 2) =
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\]
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\afaire{}
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\setcounter{section}{2}
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\subsection*{Espérance de la loi binomiale}
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\begin{propriete}
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@ -47,6 +27,6 @@ Soit $X \sim \mathcal{B}(3; 0.9)$. L'espérance de $X$ est alors
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\[
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E[X] =
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\]
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\afaire{}
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\afaire{Faire le calcul et interpréter le résultat dans le cadre du contexte expliqué dans l'exemple précédent.}
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,61 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Loi binomiale - Cours}
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\date{Février 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{2}
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\subsection*{Formule pour calculer des probabilité}
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\begin{propriete}
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||||
Soit $X \sim \mathcal{B} (n; p)$ une variable aléatoire, alors on peut calculer la probabilité avec la formule suivante
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\\[2cm]
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||||
\end{propriete}
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||||
\paragraph{Exemples}
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||||
Soit $X \sim \mathcal{B}(3; 0.9)$ la variable aléatoire utiliser pour modéliser l'exemple précédent.
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\[
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||||
P(X = 0) =
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\]
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\[
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P(X = 2) =
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\]
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\afaire{}
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\section{Coefficient binomial}
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Le nombre qu'il est compliquer de connaître dans la formule précédente est appelé \textbf{coefficient binomial}.
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\begin{definition}[ Coefficient binomial ]
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||||
Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$. $n$ représente le nombre de répétitions et $k$ le nombre de succès.
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||||
\textbf{Le coefficient binomial} $\coefBino{n}{k}$, se lit "$k$ parmi $n$", est le nombre de façon d'obtenir $k$ succès quand on fait $n$ répétitions ou encore le nombre de chemin avec $k$ succès dans un arbre avec $n$ étages.
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||||
Par convention, $\coefBino{0}{0} = 1$.
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\end{definition}
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\paragraph{Exemples}%
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Quelques valeurs de coefficient binomial
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\[
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\coefBino{3}{0} = \qquad \qquad
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||||
\coefBino{3}{1} = \qquad \qquad
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||||
\coefBino{3}{2} = \qquad \qquad
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||||
\coefBino{3}{3} =
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||||
\]
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||||
\afaire{Tracer un arbre à trois étage et compléter les valeurs}
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\afaire{Réécrire le formule pour calculer une probabilité avec une loi binomiale en utilisant les coefficients binomiaux.}
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\end{document}
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@ -0,0 +1,58 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Loi binomiale - Cours}
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\date{Février 2021}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\maketitle
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\setcounter{section}{3}
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\begin{propriete}[ Triangle de Pascal ]
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||||
Soit $n$ et $k$ deux entiers naturels tels que $0 \leq k \leq n$.
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\[
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||||
\coefBino{n}{0} = \coefBino{n}{n} = 1 \qquad \qquad \coefBino{n-1}{k-1} + \coefBino{n-1}{k} = \coefBino{n}{k}
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\]
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||||
Il est possible de calculer ces coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascale.
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\begin{center}
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\begin{tabular}{|*{8}{p{0.8cm}|}}
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\hline
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n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
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\hline
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0 & 1 & & & & & &\\
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\hline
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||||
1 & & & & & & &\\
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\hline
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||||
2 & & & & & & &\\
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\hline
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3 & & & & & & &\\
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\hline
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4 & & & & & & &\\
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\hline
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||||
5 & & & & & & &\\
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\hline
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||||
6 & & & & & & &\\
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\hline
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||||
\end{tabular}
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\end{center}
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||||
\afaire{Compléter le tableau en utilisant les règles de calculs.}
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\end{propriete}
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||||
\paragraph{Exemples}%
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\begin{itemize}
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\item Nombre de façon de d'avoir 4 succès en 5 répétitions $\coefBino{...}{...} = ...$
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\afaire{à compléter}
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\item Soit $X\sim \mathcal{B}(5, 0.3)$.
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\[
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||||
P(X = 4) =
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||||
\]
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||||
\afaire{à compléter en utilisant les coefficients binomiaux.}
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\end{itemize}
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,30 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Loi binomiale - Cours}
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\date{janvier 2021}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=4,
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}
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\setcounter{exercise}{4}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\end{document}
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Binary file not shown.
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@ -0,0 +1,28 @@
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\usepackage{myXsim}
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\author{Benjamin Bertrand}
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\title{Loi binomiale - Cours}
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\date{Février 2021}
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\DeclareExerciseCollection{banque}
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\xsimsetup{
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step=5,
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}
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\setcounter{exercise}{5}
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\pagestyle{empty}
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\begin{document}
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\input{exercises.tex}
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\printcollection{banque}
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\vfill
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\end{document}
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@ -93,4 +93,62 @@
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Triangle de Pascal}, step={4}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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\noindent
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\begin{minipage}{0.4\linewidth}
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||||
Dans cet exercice, $n$ représente le nombre de répétitions et $k$ le nombre de succès.
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\begin{enumerate}
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\item En vous aidant de ce qui a été fait à l'exercice précédent, compléter le tableau ci-dessous avec les coefficients binomiaux.
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\item Quelles sont les cases qui seront toujours vide?
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\item Quelles sont les cases qu'il est "facile" de remplir?
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||||
\item Conjecturer une façon de calculer les autres.
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\end{enumerate}
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\end{minipage}
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\hfill
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\begin{minipage}{0.5\linewidth}
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\begin{tabular}{|*{8}{p{0.8cm}|}}
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\hline
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||||
n \verb|\| k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\
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\hline
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0 & 1 & & & & & &\\
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\hline
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1 & & & & & & &\\
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\hline
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2 & & & & & & &\\
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\hline
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3 & & & & & & &\\
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\hline
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4 & & & & & & &\\
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\hline
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5 & & & & & & &\\
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\hline
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||||
6 & & & & & & &\\
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\hline
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||||
\end{tabular}
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||||
\end{minipage}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Vaccination des chiots}, step={5}, origin={Indice Math Complémentaire 84p178}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Dans un chenil, on vaccine 5 chiots de façon indépendante. Lors des vaccinations précédente, on avait constaté que le chiot avait une chance sur cinq d'avoir une réaction forte au vaccin.
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On note $X$ le nombre de chiots qui auront une réaction forte au vaccin.
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\begin{enumerate}
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\item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer $P(X=1)$. Interpréter le résultat.
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\item Quelle est la probabilité que 5 chiots aient une réaction forte??
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\item Calculer l'espérance de $X$. Interpréter le résultat.
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\begin{exercise}[subtitle={Temps de trajet}, step={5}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
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Pour aller au travail, je croise 6 feux. En interrogeant les employés municipaux en charge de la voirie, j'ai appris que ces feux étaient indépendants les uns des autres et qu'ils étaient rouges 70\% du temps.
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On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de feux rouges que je rencontre en allant travailler.
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\begin{enumerate}
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||||
\item Quelle est la loi suivie par $X$? Préciser les paramètres.
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\item Calculer $P(X=2)$. Interpréter le résultat.
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\item Quelle est la probabilité que je rencontre 5 feux rouges ou plus?
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\item Combien de feux rouge vais-je avoir en moyenne quand je vais au travail?
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\end{enumerate}
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\end{exercise}
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\collectexercisesstop{banque}
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@ -2,7 +2,7 @@ Loi binomiale
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:date: 2021-01-20
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:modified: 2021-01-25
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||||
:modified: 2021-02-07
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:authors: Benjamin Bertrand
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:tags: Probabilité, Binomiale, Tableur
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:category: TST
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@ -37,11 +37,46 @@ Lors de la lecture du bilan, on donnera la méthode pour calculer des probabilit
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:height: 200px
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:alt: Exercices où l'on utilise les arbres pour calculer des probabilités avec la loi binomiale
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Cours/Bilan: formule pour calculer des probabilités et l'espérance d'une loi binomiale
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Cours/Bilan: L'espérance d'une loi binomiale.
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.. image:: ./2B_esperance.pdf
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:height: 200px
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:alt: formule pour calculer des probabilités et l'espérance d'une loi binomiale
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Étape 3: Simulation avec python
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Étape 3: Étude des nombres de chemins
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On commence par un travail technique où il est demandé construire le tableau de la loi de probabilités à partir des paramètres de la loi binomiale. On demande aux élèves de rentrer les calculatrices et d'écrire le calcul qu'ils demanderaient à la calculatrice. On précise aussi que dès que c'est possible, ils doivent essayer de ne pas faire l'arbre de probabilités pour construire leur tableau.
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.. image:: ./3E_coef_bino.pdf
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:height: 200px
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:alt: Tracer des arbres de probabilités et découverte de la formule pour calculer des probabilités.
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Bilan du premier exercice: La formule des probabilités est donnée sans évoquer les coefficients binomiaux. Puis on explique que le "nombre de chemins" est appelé coefficient binomial et l'on réécrit la formule de probabilités.
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.. image:: ./3B_coef_bino.pdf
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:height: 200px
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:alt: formule de probabilité et introduction des coefficients binomiaux.
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Étape 4: Triangle de Pascal
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Rangement des coefficients binomiaux dans un tableau et réflexion sur comment calculer les suivants
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.. image:: ./4E_triangle_pascal.pdf
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:height: 200px
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:alt: Triangle de Pascal
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Bilan: formules de calculs, triangle de Pascal et calcul de probabilité.
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.. image:: ./4B_triangle_pascal.pdf
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:height: 200px
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:alt: Bilan sur le triangle de Pascal.
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Étape 5: Exercices d'applications
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.. image:: ./5E_application.pdf
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:height: 200px
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:alt: Application de la loi binomiale.
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Reference in New Issue