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Complementaire/03_Logarithme/1B_exponentielle.tex

@@ -0,0 +1,162 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{La fonction exponentielle}
+
+\subsection*{Relation fonctionnelle}%
+
+\begin{definition}
+    Nomme $e$ le nombre d'Euler $e$ qui vaut environ $e\approx \np{2,718281828459}$.
+
+    \noindent
+    La fonction \textbf{exponentielle} est la fonction puissance de base $e$
+    \[
+        exp: x \mapsto e^x
+    \]
+    Cette fonction est définie sur $\R$.
+\end{definition}
+
+
+\begin{propriete}
+    La fonction exponentielle partage les propriétés suivantes avec toutes les fonctions puissances
+    \begin{itemize}
+        \item Valeur particulières
+            \[
+                exp(0) = e^0 =  1 \qquad \qquad exp(1) = e^1 = e
+            \]
+        \item Relations fonctionnelles
+            
+            Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels
+            \[
+                e^x \times e^y  = e^{x+y} \qquad \qquad
+                e^{-x}  = \frac{1}{e^{x}} \qquad \qquad
+                \frac{e^x}{e^y} = e^{x-y} \qquad \qquad
+                (e^x)^y = e^{x\times y}
+            \]
+        \item Simplification des égalités
+
+            Soit $x$ et $y$ 2 nombres réels alors
+            \[
+                e^x = e^y \equiv x = y
+            \]
+
+    \end{itemize}
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+\begin{itemize}
+    \item Simplification des expressions 
+        \[
+            \frac{e^2\times e^3}{e^e} =  \qquad \qquad \qquad (e^3\timese^5)^3 = 
+        \]
+    \item Réduction d'expressions
+        \[
+            (1+e^x)(1-e^x) = 
+        \]
+    \item Factorisation
+        \[
+            3 e^x + (2x-1)e^x =
+        \]
+    \item Équations
+        \[
+            e^{3x + 1} = e^{2x - 3}
+        \]
+\end{itemize}
+\afaire{compléter les exemples}
+
+\subsection{Dérivée}
+
+\begin{propriete}[Dérivée de $\exp$]
+La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. On a ainsi
+\[
+    \forall x \in \R \qquad \exp'(x) = \exp(x)
+\]
+    
+En particulier c'est LA fonction puissance qui vérifie $f'(0) = 1$.
+\end{propriete}
+
+
+\paragraph{Exemple de calcul}
+
+    Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^x$
+\afaire{}
+
+Remarque: On peut définir l'exponentielle comme la fonction qui vérifie $f'(x) = f(x)$ (on appelle ce genre de relation une équation différentielle).
+
+On en déduit, pour tout $x \in \R$, $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(x) > 0$ alors la fonction exponentielle est \dotfill
+
+\begin{propriete}
+    Soit $x$ et $y$ deux nombres réels alors
+    \[
+        e^x \leq e^y \equiv x \leq y
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Résolution d'inéquation} Résoudre l'inéquation
+\[
+    e^{-3x + 2} - 1 \geq 0
+\]
+
+\subsection*{Étude de la fonction}
+
+\begin{propriete}
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        \begin{itemize}
+            \item Elle est continue et dérivable sur $\R$
+            \item Elle est strictement positive sur $\R$\\ ($\forall x \in \R \; e^x > 0$)
+        \end{itemize}
+        \begin{tikzpicture}
+            \tkzTabInit[lgt=3,espcl=5]{$x$/1,$\exp(x)=e^x$/2}%
+            {$-\infty$, $+\infty$}%
+            \tkzTabVar{-/, +/}%
+        \end{tikzpicture}
+        \[
+            \lim_{x \rightarrow - \infty} e^x = \cdots
+            \qquad \qquad
+            \lim_{x \rightarrow + \infty} e^x = \cdots
+        \]
+    \end{minipage}
+    \hfill
+    \begin{minipage}{0.4\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=0.8, xscale=0.8]
+            \tkzInit[xmin=-5,xmax=2,xstep=1,
+            ymin=0,ymax=5,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
+            \tkzFct[domain = -5:2, line width=1pt]{exp(x)}
+            \tkzText[draw,fill = brown!20](-3,1){$f(x)=\text{e}^{x}$}
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+\end{definition}
+
+\subsection*{Dérivée de fonctions composées avec l'exponentielle}
+
+\begin{propriete}
+Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. 
+
+Alors la fonction $f:x\mapsto e^{u(x)}$ est aussi dérivable sur $I$ et sa dérivée est
+\[
+    f'(x) = u'(x)\times e^{u(x)}
+\]
+\end{propriete}
+
+\subsection*{Exemple}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = e^{-0.1x}$
+
+\afaire{}
+
+Calcul de la dérivée de $f(x) = (2x+1)e^{-0.1x}$
+
+\afaire{}
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/1E_exponentielle.tex

@@ -0,0 +1,18 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Logarithme - Cours}
+\date{avril 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=1,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

Complementaire/03_Logarithme/exercises.tex

@@ -0,0 +1,84 @@
+\collectexercises{banque}
+\begin{exercise}[subtitle={Manipulations techniques}, step={1}, origin={Créations}, topics={Logarithme}, tags={exponentielle, logarithme}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Mettre sous la forme $a\times e^b$
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A=e^2\times e^{-3}\times e^5$
+                    \item $B=e^3 + 5e^3$
+                    \item $C=(e^2)^5 \times e^{-3}$
+                    \item $D= e^4 - (3e^2)^2$
+                    \item $E=\dfrac{e^3}{e^6}$
+                    \item $F=e^{10} + 3(e^2)^5$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+        \item Réduire les expressions
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A=e^{2x}\times e^{2-x}$
+                    \item $B=\dfrac{e^{3x+1}}{e^{2x}}$
+                    \item $C=\dfrac{e^{3x}\times e^{x-1}}{e^{2+x}}$
+                    \item $D=(1+e^x)(e^x-1)$
+                    \item $E=e^{-x}(e^x-1)$
+                    \item $F=(e^x+1)^2$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+        \item Factoriser
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $A = x^2e^x + 2e^x$
+                    \item $B = e^{-0.1x} + (x+2)e^{-0.1x}$
+                    \item $C = (x-1)e^{0.2x} - (x+3)e^{0.2x}$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+        \item Résoudre les équations et inéquations
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $e^{2x+1} = e^{x}$
+                    \item $e^{3-2x} \leq e^{3x}$
+                    \item $e^{2x+1} = e$
+                    \item $e^{-x} - 1\geq 0$
+                    \item $e^x(e^x-1) = 0$
+                    \item $(x^2+x-2)(e^x-1) = 0$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols} 
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    Calculer la dérivée, étudier son signe et en déduire les variations de la fonction initiale.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $f(x) = e^{-3x}$ , $I = \R$
+            \item $g(x) = 100e^{-0.5x + 1}$ , $I=\R$
+            \item $h(x) = e^{-x^2}$ , $I = \R$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Décroissance radioactive}, step={1}, origin={Création}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    La loi de décroissance radioactive est décrite par la formule suivant où $t$ représente le temps en $s$, $N(t)$ la quantité d'éléments radioactifs et $\tau$ le temps de demi-vie en $s^{-1}$: $N(t) = N_0 \times e^{-\frac{t}{\tau}}$
+
+    On fixe $\tau = 2$.
+    \begin{enumerate}
+        \item Quel est la valeur de $N_0$ si $N$ vaut 15 après 90s?
+        \item Calculer $N'(t)$ la dérivée de $N(t)$.
+        \item Étudier le signe de $N'(t)$ et en déduire les variations de $N(t)$.
+        \item Tracer l'allure de la courbe représentative de $N(t)$.
+        \item Que peut-on dire de la quantité d'éléments radioactifs après un long moment?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Charge d'une batterie}, step={1}, origin={Inspiration de l'annal Antille septembre 2019}, topics={Fonction Exponentielle}, tags={Analyse, exponentielle}]
+    On souhaite charger une batterie de 22kWh. Le profil de charge est décrit par le fonction $c(t) = 22 - 22e^{-0.55t}$ où $t$ décrit le temps en heure.
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer et interpréter $c(0)$.
+        \item Calculer $C'(t)$ la dérivée de $C(t)$.
+        \item Étudier le signe de $C'(t)$ et en déduire les variations de $C(t)$.
+        \item Tracer l'allure de la représentation graphique de $C(t)$.
+        \item Est-il possible de charger entièrement la batterie?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+
+\collectexercisesstop{banque}

Complementaire/03_Logarithme/index.rst

@@ -0,0 +1,25 @@
+Logarithme
+##########
+
+:date: 2021-04-25
+:modified: 2021-04-25
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: Exponentielle, Logarithme
+:category: Complementaire
+:summary: Retour sur l'exponentielle et approche historique du logarithme
+
+Étape 1: Retour sur la fonction exponentielle
+=============================================
+
+Cours: les connaissances de bases sur la fonction exponentielle
+
+.. image:: ./1B_exponentielle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Cours sur l'exponentielle
+
+Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponentielle et sur l'étude de fonctions
+
+.. image:: ./1E_exponentielle.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices techniques sur l'exponentielle
+