Feat: DM pour les Maths complémentaires
continuous-integration/drone/push Build is passing
Details
continuous-integration/drone/push Build is passing
Details
This commit is contained in:
parent
6503d17bbd
commit
3c4a16a982
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill BALLARD Antoine}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $8m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
8 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{8}{h\times 4} = \frac{2}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{2}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 4x + 16 \Rightarrow u'(x) = 16x + 4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 4)\times x - (8x^2 + 4x + 16)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 16
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 16$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 512 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 1.4142135623730951
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 16$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 16$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 0.3 x - 7.3\right) e^{- x} + 7.3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 7.3 x + \left( x^{2} + 1.7 x + 9.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 0.3*x - 7.3)*exp(-x) + 7.3 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{31.8}{e^{4}} + 20.2$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{31.8}{e^{4}} + 20.2)\times 4 \times 15^2 = 18704.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 86.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 34.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 8.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.37$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 37.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.86}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.58}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.42}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.14}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.86
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.34
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.08
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.86 \times 0.34 = 0.29
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.29 + 0.08 = 0.37
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.29}{0.37} = 0.78
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0.37$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 10) = \coefBino{20}{10}\times 0.37^{10} \times 0.63^{10}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{20}{0}\times 0.37^{0} \times 0.63^{20}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 20 \times 0.37 = 7.4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill BALUKHATYY Alexandre}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $15m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 30}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
15 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{15}{h\times 3} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{5}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{30}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 10x + 30 \Rightarrow u'(x) = 12x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 10)\times x - (6x^2 + 10x + 30)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 30
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 30}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 30$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 720 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 30$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 30$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.4 x - 0.6\right) e^{- x} + 0.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 0.6 x + \left( x^{2} - 6.4 x - 5.8\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.4*x - 0.6)*exp(-x) + 0.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 8.2 - \frac{15.4}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(8.2 - \frac{15.4}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 7126.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 25.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 84.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 57.99999999999999\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.79$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 79.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 11)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.84}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.16}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.25}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.78}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.22}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.75}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.84
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.58
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.25 \times 0.84 = 0.21
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.21 + 0.58 = 0.79
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.21}{0.79} = 0.27
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0.79$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 11) = \coefBino{12}{11}\times 0.79^{11} \times 0.21^{1}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{12}{0}\times 0.79^{0} \times 0.21^{12}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 12 \times 0.79 = 9.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill CALES Mathis}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $6m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 4x + 6 + \frac{12}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 12}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $3 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $3 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
6 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{6}{h\times 2} = \frac{3}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{3}{x}\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 6 + \frac{12}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 6 + \frac{12}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{12}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 4x^2 + 6x + 12 \Rightarrow u'(x) = 8x + 6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 6)\times x - (4x^2 + 6x + 12)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 4x^2 - 12
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 12}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $4x^2 - 12$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 192 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 1.7320508075688772 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 1.7320508075688772
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $4x^2 - 12$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 12$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688772$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688772$ et $h = 5.1961524227066316$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 2.8 x - 8.7\right) e^{- x} + 8.7
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 8.7 x + \left( x^{2} - 0.8 x + 7.9\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 2.8*x - 8.7)*exp(-x) + 8.7 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{20.7}{e^{4}} + 26.9$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{20.7}{e^{4}} + 26.9)\times 4 \times 15^2 = 24551.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 48.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 99.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 10.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.58$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 57.99999999999999\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.99}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.01}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.48}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.2}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.8}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.52}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.52
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.99
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.48 \times 0.99 = 0.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.48 + 0.1 = 0.58
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.48}{0.58} = 0.83
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.58$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 10) = \coefBino{17}{10}\times 0.58^{10} \times 0.42^{7}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.58^{0} \times 0.42^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.58 = 9.86
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill CHAKIR Iman}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $20m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 10 + \frac{40}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 40}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
20 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{20}{h\times 4} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{5}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{40}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 10x + 40 \Rightarrow u'(x) = 16x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 10)\times x - (8x^2 + 10x + 40)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 40
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 40}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 40$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1280 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 40$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 40$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 9.0 x - 9.0\right) e^{- x} + 9.0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 9.0 x + \left( x^{2} - 7.0 x + 2.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 9.0*x - 9.0)*exp(-x) + 9.0 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 34.0 - \frac{10.0}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(34.0 - \frac{10.0}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 30435.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 27.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 39.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 4.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.15$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 15.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 9)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.39}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.61}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.27}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.73}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.27
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.73
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.39
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.27 \times 0.39 = 0.11
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.11 + 0.04 = 0.15
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.11}{0.15} = 0.73
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.15$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 9) = \coefBino{17}{9}\times 0.15^{9} \times 0.85^{8}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.15^{0} \times 0.85^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.15 = 2.55
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill GERMAIN Margot}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $35m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
35 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{35}{h\times 5} = \frac{7}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{7}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 14x + 70 \Rightarrow u'(x) = 20x + 14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 14)\times x - (10x^2 + 14x + 70)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 70
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 70$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2800 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 70$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 70$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.0 x - 1.1\right) e^{- x} + 1.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 1.1 x + \left( x^{2} - 6.0 x - 4.9\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.0*x - 1.1)*exp(-x) + 1.1 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 9.3 - \frac{12.9}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(9.3 - \frac{12.9}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 8157.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 81.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 57.99999999999999\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 2.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.49$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 49.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 14)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.58}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.42}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.81}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.13}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.87}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.19}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.81
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.19
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.58
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.02
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.81 \times 0.58 = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.47 + 0.02 = 0.49
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.47}{0.49} = 0.96
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0.49$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 14) = \coefBino{20}{14}\times 0.49^{14} \times 0.51^{6}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{20}{0}\times 0.49^{0} \times 0.51^{20}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 20 \times 0.49 = 9.8
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill HOKELEKLI Damla}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $10m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 4x + 10 + \frac{20}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{4x^2 + 10x + 20}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 20}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=10$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=10$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
10 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{10}{h\times 2} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{5}{x}\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 10 + \frac{20}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 10 + \frac{20}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{20}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x^2 + 10x + 20}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 4x^2 + 10x + 20 \Rightarrow u'(x) = 8x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 10)\times x - (4x^2 + 10x + 20)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 4x^2 - 20
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 20}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $4x^2 - 20$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 320 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $4x^2 - 20$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 20$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 5.6 x - 1.6\right) e^{- x} + 1.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 1.6 x + \left( x^{2} - 3.6 x - 2.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 5.6*x - 1.6)*exp(-x) + 1.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 8.4 - \frac{0.399999999999999}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(8.4 - \frac{0.399999999999999}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 7553.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 47.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 25.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 23.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.35$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 35.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 17)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.25}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.75}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.44}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.56}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.53
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.23
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.47 \times 0.25 = 0.12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.12 + 0.23 = 0.35
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.12}{0.35} = 0.34
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.35$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 17) = \coefBino{19}{17}\times 0.35^{17} \times 0.65^{2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.35^{0} \times 0.65^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.35 = 6.65
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill KICHENASSAMY Kévin}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $16m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 8 + \frac{32}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 8x + 32}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 32}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $4 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $4 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
16 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{16}{h\times 4} = \frac{4}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{4}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{4}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 8 + \frac{32}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 8 + \frac{32}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{8\times x}{x} + \frac{32}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 8x + 32}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 8x + 32 \Rightarrow u'(x) = 16x + 8
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 8)\times x - (8x^2 + 8x + 32)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 32
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 32}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 32$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1024 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 32$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 32$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2$ et $h = 8$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 0.4 x - 6.0\right) e^{- x} + 6.0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.0 x + \left( x^{2} + 1.6 x + 7.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 0.4*x - 6.0)*exp(-x) + 6.0 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{30.0}{e^{4}} + 16.4$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{30.0}{e^{4}} + 16.4)\times 4 \times 15^2 = 15255.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 84.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 85.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 4.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.75$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 75.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 14)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.85}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.15}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.84}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.26}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.74}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.16}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.84
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.16
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.85
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.84 \times 0.85 = 0.71
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.71 + 0.04 = 0.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.71}{0.75} = 0.95
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.75$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 14) = \coefBino{17}{14}\times 0.75^{14} \times 0.25^{3}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.75^{0} \times 0.25^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.75 = 12.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill MATHIEU Allan}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $40m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 20 + \frac{80}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 20x + 80}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 80}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=40$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=40$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
40 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{40}{h\times 4} = \frac{10}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{10}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 20 + \frac{80}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 20 + \frac{80}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{80}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 20x + 80}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 20x + 80 \Rightarrow u'(x) = 16x + 20
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 20)\times x - (8x^2 + 20x + 80)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 80
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 80}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 80$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2560 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3.1622776601683795 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3.1622776601683795
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 80$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 80$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.1622776601683795$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3.1622776601683795$ et $h = 31.6227766016837950$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 6.1 x - 9.3\right) e^{- x} + 9.3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 9.3 x + \left( x^{2} - 4.1 x + 5.2\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 6.1*x - 9.3)*exp(-x) + 9.3 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{4.8}{e^{4}} + 32.0$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{4.8}{e^{4}} + 32.0)\times 4 \times 15^2 = 28879.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 92.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 47.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 1.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.44$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 44.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 15)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.92}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.17}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.83}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.08}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.92
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.08
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.01
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.92 \times 0.47 = 0.43
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.43 + 0.01 = 0.44
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.43}{0.44} = 0.98
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.44$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 15) = \coefBino{17}{15}\times 0.44^{15} \times 0.56^{2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.44^{0} \times 0.56^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.44 = 7.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill MOLINIER Annelise}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $25m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 10 + \frac{50}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 10x + 50}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 50}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=25$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=25$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
25 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{25}{h\times 5} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{5}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 10 + \frac{50}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 10 + \frac{50}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{50}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 10x + 50}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 10x + 50 \Rightarrow u'(x) = 20x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 10)\times x - (10x^2 + 10x + 50)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 50
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 50}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 50$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2000 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 50$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 50$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 6.9 x - 3.3\right) e^{- x} + 3.3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 3.3 x + \left( x^{2} - 4.9 x - 1.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 6.9*x - 3.3)*exp(-x) + 3.3 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 14.8 - \frac{5.2}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(14.8 - \frac{5.2}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 13234.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 56.00000000000001\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 22.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 10.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.22$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 22.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 19)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.22}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.78}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.56}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.23}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.77}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.44}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.56
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.44
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.22
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.56 \times 0.22 = 0.12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.12 + 0.1 = 0.22
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.12}{0.22} = 0.55
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.22$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 19) = \coefBino{19}{19}\times 0.22^{19} \times 0.78^{0}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.22^{0} \times 0.78^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.22 = 4.18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill MOUHOUBI Maïssa}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $35m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
35 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{35}{h\times 5} = \frac{7}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{7}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 14x + 70 \Rightarrow u'(x) = 20x + 14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 14)\times x - (10x^2 + 14x + 70)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 70
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 70$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2800 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 70$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 70$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 1.1 x - 6.1\right) e^{- x} + 6.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.1 x + \left( x^{2} + 0.9 x + 7.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 1.1*x - 6.1)*exp(-x) + 6.1 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{26.6}{e^{4}} + 17.4$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{26.6}{e^{4}} + 17.4)\times 4 \times 15^2 = 16098.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 23.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 66.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 68.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.83$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 83.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.23}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.88}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.12}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.77}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.23
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.77
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.66
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.68
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.23 \times 0.66 = 0.15
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.15 + 0.68 = 0.83
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.15}{0.83} = 0.18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.83$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 10) = \coefBino{17}{10}\times 0.83^{10} \times 0.17^{7}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.83^{0} \times 0.17^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.83 = 14.11
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill PERDRIX Camille}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $8m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
8 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{8}{h\times 4} = \frac{2}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{2}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 4x + 16 \Rightarrow u'(x) = 16x + 4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 4)\times x - (8x^2 + 4x + 16)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 16
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 16$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 512 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 1.4142135623730951
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 16$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 16$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.3 x - 5.0\right) e^{- x} + 5.0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 5.0 x + \left( x^{2} - 6.3 x - 1.3\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.3*x - 5.0)*exp(-x) + 5.0 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 21.3 - \frac{10.5}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(21.3 - \frac{10.5}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 18997.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 66.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 35.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 28.000000000000004\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.51$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 51.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 11)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.35}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.65}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.81}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.19}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.66
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.34
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.35
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.28
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.66 \times 0.35 = 0.23
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.23 + 0.28 = 0.51
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.23}{0.51} = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.51$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 11) = \coefBino{19}{11}\times 0.51^{11} \times 0.49^{8}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.51^{0} \times 0.49^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.51 = 9.69
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill POISON Lorette}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $35m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
35 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{35}{h\times 5} = \frac{7}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{7}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 14x + 70 \Rightarrow u'(x) = 20x + 14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 14)\times x - (10x^2 + 14x + 70)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 70
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 70$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2800 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 70$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 70$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 6.1 x - 3.4\right) e^{- x} + 3.4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 3.4 x + \left( x^{2} - 4.1 x - 0.7\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 6.1*x - 3.4)*exp(-x) + 3.4 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 14.3 - \frac{1.1}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(14.3 - \frac{1.1}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 12852.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 47.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 95.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 50.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.95$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 95.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 12)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.53
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.95
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.5
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.47 \times 0.95 = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.45 + 0.5 = 0.95
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.45}{0.95} = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.95$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 12) = \coefBino{15}{12}\times 0.95^{12} \times 0.05^{3}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.95^{0} \times 0.05^{15}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 15 \times 0.95 = 14.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill RODRIGUEZ Teddy}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $50m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 20 + \frac{100}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 20x + 100}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 100}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=50$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=50$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
50 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{50}{h\times 5} = \frac{10}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{10}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 20 + \frac{100}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 20 + \frac{100}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{100}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 20x + 100}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 20x + 100 \Rightarrow u'(x) = 20x + 20
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 20)\times x - (10x^2 + 20x + 100)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 100
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 100}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 100$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 4000 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3.162277660168379 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3.162277660168379
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 100$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 100$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.162277660168379$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3.162277660168379$ et $h = 31.622776601683790$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 1.0 x - 3.6\right) e^{- x} + 3.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 3.6 x + \left( x^{2} + x + 4.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 1.0*x - 3.6)*exp(-x) + 3.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{24.6}{e^{4}} + 9.8$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{24.6}{e^{4}} + 9.8)\times 4 \times 15^2 = 9226.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 64.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 4.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 6.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.09$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 9.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 9)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.04}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.96}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.64}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.18}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.82}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.36}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.64
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.36
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.06
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.64 \times 0.04 = 0.03
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.03 + 0.06 = 0.09
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.03}{0.09} = 0.33
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=16$ et $p=0.09$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 9) = \coefBino{16}{9}\times 0.09^{9} \times 0.91^{7}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{16}{0}\times 0.09^{0} \times 0.91^{16}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 16 \times 0.09 = 1.44
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill SAINT CYR Louis}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $45m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{9}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 18 + \frac{90}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 18x + 90}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 90}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=45$, $h$ doit être égale à $9 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=45$, $h$ doit être égale à $9 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
45 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{45}{h\times 5} = \frac{9}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{9}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{9}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 18 + \frac{90}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 18 + \frac{90}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{18\times x}{x} + \frac{90}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 18x + 90}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 18x + 90 \Rightarrow u'(x) = 20x + 18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 18)\times x - (10x^2 + 18x + 90)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 90
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 90}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 90$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 3600 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 90$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 90$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3$ et $h = 27$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.0 x - 0.9\right) e^{- x} + 0.9
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 0.9 x + \left( x^{2} - 6.0 x - 5.1\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.0*x - 0.9)*exp(-x) + 0.9 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 8.7 - \frac{13.1}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(8.7 - \frac{13.1}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 7614.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 88.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 75.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 4.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.7$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 70.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 14)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.75}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.25}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.88}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.12}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.88
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.88 \times 0.75 = 0.66
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.66 + 0.04 = 0.7
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.66}{0.7} = 0.94
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.7$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 14) = \coefBino{15}{14}\times 0.7^{14} \times 0.3^{1}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.7^{0} \times 0.3^{15}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 15 \times 0.7 = 10.5
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill SAVIN Lou-Ann}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $18m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{6}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 12 + \frac{36}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 12x + 36}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 36}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=18$, $h$ doit être égale à $6 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=18$, $h$ doit être égale à $6 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
18 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{18}{h\times 3} = \frac{6}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{6}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{6}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 12 + \frac{36}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 12 + \frac{36}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{12\times x}{x} + \frac{36}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 12x + 36}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 12x + 36 \Rightarrow u'(x) = 12x + 12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 12)\times x - (6x^2 + 12x + 36)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 36
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 36}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 36$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 864 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.4494897427831783 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.4494897427831783
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 36$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 36$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.4494897427831783$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.4494897427831783$ et $h = 14.6969384566990698$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 2.7 x - 6.1\right) e^{- x} + 6.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.1 x + \left( x^{2} - 0.7 x + 5.4\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 2.7*x - 6.1)*exp(-x) + 6.1 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{18.6}{e^{4}} + 19.0$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{18.6}{e^{4}} + 19.0)\times 4 \times 15^2 = 17407.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 47.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 45.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 3.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.24$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 24.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 9)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.45}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.55}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.53
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.03
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.47 \times 0.45 = 0.21
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.21 + 0.03 = 0.24
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.21}{0.24} = 0.88
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.24$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 9) = \coefBino{19}{9}\times 0.24^{9} \times 0.76^{10}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.24^{0} \times 0.76^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.24 = 4.56
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill SILVA LOPES Katleen}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $27m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{9}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 18 + \frac{54}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 18x + 54}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 54}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=27$, $h$ doit être égale à $9 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=27$, $h$ doit être égale à $9 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
27 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{27}{h\times 3} = \frac{9}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{9}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{9}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 18 + \frac{54}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 18 + \frac{54}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{18\times x}{x} + \frac{54}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 18x + 54}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 18x + 54 \Rightarrow u'(x) = 12x + 18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 18)\times x - (6x^2 + 18x + 54)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 54
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 54}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 54$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1296 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 54$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 54$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3$ et $h = 27$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 3.0 x - 6.6\right) e^{- x} + 6.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.6 x + \left( x^{2} - x + 5.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 3.0*x - 6.6)*exp(-x) + 6.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{17.6}{e^{4}} + 20.8$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{17.6}{e^{4}} + 20.8)\times 4 \times 15^2 = 19010.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 43.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 31.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 19.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.32$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 32.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 7)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.31}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.69}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.43}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.57}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.43
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.57
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.31
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.19
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.43 \times 0.31 = 0.13
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.13 + 0.19 = 0.32
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.13}{0.32} = 0.41
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.32$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 7) = \coefBino{10}{7}\times 0.32^{7} \times 0.68^{3}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{10}{0}\times 0.32^{0} \times 0.68^{10}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 10 \times 0.32 = 3.2
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill VANDROUX Guillemette}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = false
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $30m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 20 + \frac{60}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 20x + 60}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 60}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=30$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=30$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
30 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{30}{h\times 3} = \frac{10}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{10}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 20 + \frac{60}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 20 + \frac{60}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{60}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 20x + 60}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 20x + 60 \Rightarrow u'(x) = 12x + 20
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 20)\times x - (6x^2 + 20x + 60)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 60
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 60}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 60$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1440 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3.1622776601683795 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3.1622776601683795
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 60$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 60$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.1622776601683795$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3.1622776601683795$ et $h = 31.6227766016837950$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 5.0 x - 1.8\right) e^{- x} + 1.8
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 1.8 x + \left( x^{2} - 3.0 x - 1.2\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 5.0*x - 1.8)*exp(-x) + 1.8 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{2.8}{e^{4}} + 8.4$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{2.8}{e^{4}} + 8.4)\times 4 \times 15^2 = 7606.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 55.00000000000001\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 46.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 20.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.45$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 45.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 13)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.46}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.54}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.55}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.44}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.56}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.45}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.55
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.46
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.2
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.55 \times 0.46 = 0.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.25 + 0.2 = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.25}{0.45} = 0.56
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.45$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 13) = \coefBino{15}{13}\times 0.45^{13} \times 0.55^{2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.45^{0} \times 0.55^{15}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 15 \times 0.45 = 6.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill BALLARD Antoine}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $8m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
8 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{8}{h\times 4} = \frac{2}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{2}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 4x + 16 \Rightarrow u'(x) = 16x + 4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 4)\times x - (8x^2 + 4x + 16)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 16
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 16$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 512 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 1.4142135623730951
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 16$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 16$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 0.3 x - 7.3\right) e^{- x} + 7.3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 7.3 x + \left( x^{2} + 1.7 x + 9.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 0.3*x - 7.3)*exp(-x) + 7.3 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{31.8}{e^{4}} + 20.2$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{31.8}{e^{4}} + 20.2)\times 4 \times 15^2 = 18704.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 86.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 34.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 8.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.37$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 37.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.86}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.58}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.42}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.14}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.86
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.34
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.08
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.86 \times 0.34 = 0.29
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.29 + 0.08 = 0.37
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.29}{0.37} = 0.78
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0.37$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 10) = \coefBino{20}{10}\times 0.37^{10} \times 0.63^{10}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{20}{0}\times 0.37^{0} \times 0.63^{20}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 20 \times 0.37 = 7.4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill BALUKHATYY Alexandre}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $15m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 30}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=15$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
15 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{15}{h\times 3} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{5}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 10 + \frac{30}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{30}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 10x + 30}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 10x + 30 \Rightarrow u'(x) = 12x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 10)\times x - (6x^2 + 10x + 30)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 30
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 30}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 30$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 720 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 30$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 30$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.4 x - 0.6\right) e^{- x} + 0.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 0.6 x + \left( x^{2} - 6.4 x - 5.8\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.4*x - 0.6)*exp(-x) + 0.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 8.2 - \frac{15.4}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(8.2 - \frac{15.4}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 7126.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 25.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 84.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 57.99999999999999\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.79$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 79.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 11)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.84}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.16}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.25}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.78}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.22}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.75}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.84
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.58
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.25 \times 0.84 = 0.21
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.21 + 0.58 = 0.79
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.21}{0.79} = 0.27
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0.79$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 11) = \coefBino{12}{11}\times 0.79^{11} \times 0.21^{1}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{12}{0}\times 0.79^{0} \times 0.21^{12}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 12 \times 0.79 = 9.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill CALES Mathis}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $6m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{3}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 4x + 6 + \frac{12}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 12}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $3 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=6$, $h$ doit être égale à $3 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
6 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{6}{h\times 2} = \frac{3}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{3}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{3}{x}\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 6 + \frac{12}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 6 + \frac{12}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{6\times x}{x} + \frac{12}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x^2 + 6x + 12}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 4x^2 + 6x + 12 \Rightarrow u'(x) = 8x + 6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 6)\times x - (4x^2 + 6x + 12)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 4x^2 - 12
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 12}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $4x^2 - 12$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 192 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 1.7320508075688772 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 1.7320508075688772
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $4x^2 - 12$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 12$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.7320508075688772$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.7320508075688772$ et $h = 5.1961524227066316$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 2.8 x - 8.7\right) e^{- x} + 8.7
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 8.7 x + \left( x^{2} - 0.8 x + 7.9\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 2.8*x - 8.7)*exp(-x) + 8.7 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{20.7}{e^{4}} + 26.9$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{20.7}{e^{4}} + 26.9)\times 4 \times 15^2 = 24551.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 48.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 99.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 10.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.58$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 57.99999999999999\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.99}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.01}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.48}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.2}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.8}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.52}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.52
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.99
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.48 \times 0.99 = 0.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.48 + 0.1 = 0.58
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.48}{0.58} = 0.83
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.58$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 10) = \coefBino{17}{10}\times 0.58^{10} \times 0.42^{7}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.58^{0} \times 0.42^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.58 = 9.86
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill CHAKIR Iman}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $20m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 10 + \frac{40}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 40}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=20$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
20 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{20}{h\times 4} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{5}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 10 + \frac{40}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{40}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 10x + 40}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 10x + 40 \Rightarrow u'(x) = 16x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 10)\times x - (8x^2 + 10x + 40)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 40
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 40}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 40$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1280 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 40$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 40$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 9.0 x - 9.0\right) e^{- x} + 9.0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 9.0 x + \left( x^{2} - 7.0 x + 2.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 9.0*x - 9.0)*exp(-x) + 9.0 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 34.0 - \frac{10.0}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(34.0 - \frac{10.0}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 30435.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 27.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 39.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 4.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.15$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 15.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 9)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.39}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.61}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.27}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.73}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.27
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.73
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.39
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.27 \times 0.39 = 0.11
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.11 + 0.04 = 0.15
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.11}{0.15} = 0.73
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.15$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 9) = \coefBino{17}{9}\times 0.15^{9} \times 0.85^{8}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.15^{0} \times 0.85^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.15 = 2.55
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill GERMAIN Margot}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $35m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
35 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{35}{h\times 5} = \frac{7}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{7}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 14x + 70 \Rightarrow u'(x) = 20x + 14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 14)\times x - (10x^2 + 14x + 70)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 70
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 70$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2800 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 70$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 70$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.0 x - 1.1\right) e^{- x} + 1.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 1.1 x + \left( x^{2} - 6.0 x - 4.9\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.0*x - 1.1)*exp(-x) + 1.1 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 9.3 - \frac{12.9}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(9.3 - \frac{12.9}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 8157.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 81.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 57.99999999999999\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 2.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.49$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 49.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 14)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.58}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.42}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.81}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.13}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.87}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.19}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.81
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.19
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.58
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.02
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.81 \times 0.58 = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.47 + 0.02 = 0.49
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.47}{0.49} = 0.96
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0.49$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 14) = \coefBino{20}{14}\times 0.49^{14} \times 0.51^{6}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{20}{0}\times 0.49^{0} \times 0.51^{20}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 20 \times 0.49 = 9.8
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill HOKELEKLI Damla}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $10m^3$. La longueur est aussi fixée à $2m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$2m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 4x + 10 + \frac{20}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{4x^2 + 10x + 20}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 20}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=10$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=10$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
10 &=& h\times x \times 2 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{10}{h\times 2} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times2\times2 + h\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times2\times2 + \frac{5}{x}\times 2\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 10 + \frac{20}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 4x + 10 + \frac{20}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{20}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{4x^2 + 10x + 20}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 4x^2 + 10x + 20 \Rightarrow u'(x) = 8x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (8x + 10)\times x - (4x^2 + 10x + 20)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 4x^2 - 20
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{4x^2 - 20}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $4x^2 - 20$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 320 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $4x^2 - 20$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$4x^2 - 20$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 5.6 x - 1.6\right) e^{- x} + 1.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 1.6 x + \left( x^{2} - 3.6 x - 2.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 5.6*x - 1.6)*exp(-x) + 1.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 8.4 - \frac{0.399999999999999}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(8.4 - \frac{0.399999999999999}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 7553.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 47.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 25.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 23.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.35$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 35.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 17)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.25}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.75}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.44}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.56}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.53
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.23
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.47 \times 0.25 = 0.12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.12 + 0.23 = 0.35
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.12}{0.35} = 0.34
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.35$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 17) = \coefBino{19}{17}\times 0.35^{17} \times 0.65^{2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.35^{0} \times 0.65^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.35 = 6.65
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill KICHENASSAMY Kévin}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $16m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 8 + \frac{32}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 8x + 32}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 32}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $4 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=16$, $h$ doit être égale à $4 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
16 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{16}{h\times 4} = \frac{4}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{4}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{4}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 8 + \frac{32}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 8 + \frac{32}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{8\times x}{x} + \frac{32}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 8x + 32}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 8x + 32 \Rightarrow u'(x) = 16x + 8
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 8)\times x - (8x^2 + 8x + 32)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 32
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 32}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 32$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1024 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 32$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 32$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2$ et $h = 8$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 0.4 x - 6.0\right) e^{- x} + 6.0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.0 x + \left( x^{2} + 1.6 x + 7.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 0.4*x - 6.0)*exp(-x) + 6.0 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{30.0}{e^{4}} + 16.4$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{30.0}{e^{4}} + 16.4)\times 4 \times 15^2 = 15255.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 84.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 85.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 4.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.75$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 75.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 14)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.85}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.15}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.84}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.26}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.74}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.16}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.84
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.16
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.85
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.84 \times 0.85 = 0.71
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.71 + 0.04 = 0.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.71}{0.75} = 0.95
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.75$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 14) = \coefBino{17}{14}\times 0.75^{14} \times 0.25^{3}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.75^{0} \times 0.25^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.75 = 12.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill MATHIEU Allan}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $40m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 20 + \frac{80}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 20x + 80}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 80}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=40$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=40$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
40 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{40}{h\times 4} = \frac{10}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{10}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 20 + \frac{80}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 20 + \frac{80}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{80}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 20x + 80}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 20x + 80 \Rightarrow u'(x) = 16x + 20
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 20)\times x - (8x^2 + 20x + 80)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 80
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 80}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 80$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2560 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3.1622776601683795 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3.1622776601683795
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 80$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 80$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.1622776601683795$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3.1622776601683795$ et $h = 31.6227766016837950$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 6.1 x - 9.3\right) e^{- x} + 9.3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 9.3 x + \left( x^{2} - 4.1 x + 5.2\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 6.1*x - 9.3)*exp(-x) + 9.3 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{4.8}{e^{4}} + 32.0$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{4.8}{e^{4}} + 32.0)\times 4 \times 15^2 = 28879.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 92.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 47.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 1.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.44$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 44.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 15)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.92}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.17}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.83}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.08}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.92
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.08
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.01
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.92 \times 0.47 = 0.43
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.43 + 0.01 = 0.44
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.43}{0.44} = 0.98
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.44$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 15) = \coefBino{17}{15}\times 0.44^{15} \times 0.56^{2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.44^{0} \times 0.56^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.44 = 7.48
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill MOLINIER Annelise}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $25m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{5}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 10 + \frac{50}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 10x + 50}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 50}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=25$, $h$ doit être égale à $5 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=25$, $h$ doit être égale à $5 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
25 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{25}{h\times 5} = \frac{5}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{5}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{5}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 10 + \frac{50}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 10 + \frac{50}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{10\times x}{x} + \frac{50}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 10x + 50}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 10x + 50 \Rightarrow u'(x) = 20x + 10
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 10)\times x - (10x^2 + 10x + 50)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 50
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 50}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 50$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2000 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.23606797749979 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.23606797749979
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 50$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 50$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.23606797749979$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.23606797749979$ et $h = 11.18033988749895$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 6.9 x - 3.3\right) e^{- x} + 3.3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 3.3 x + \left( x^{2} - 4.9 x - 1.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 6.9*x - 3.3)*exp(-x) + 3.3 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 14.8 - \frac{5.2}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(14.8 - \frac{5.2}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 13234.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 56.00000000000001\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 22.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 10.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.22$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 22.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 19)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.22}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.78}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.56}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.23}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.77}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.44}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.56
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.44
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.22
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.56 \times 0.22 = 0.12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.12 + 0.1 = 0.22
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.12}{0.22} = 0.55
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.22$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 19) = \coefBino{19}{19}\times 0.22^{19} \times 0.78^{0}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.22^{0} \times 0.78^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.22 = 4.18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill MOUHOUBI Maïssa}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $35m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
35 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{35}{h\times 5} = \frac{7}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{7}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 14x + 70 \Rightarrow u'(x) = 20x + 14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 14)\times x - (10x^2 + 14x + 70)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 70
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 70$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2800 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 70$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 70$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 1.1 x - 6.1\right) e^{- x} + 6.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.1 x + \left( x^{2} + 0.9 x + 7.0\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 1.1*x - 6.1)*exp(-x) + 6.1 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{26.6}{e^{4}} + 17.4$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{26.6}{e^{4}} + 17.4)\times 4 \times 15^2 = 16098.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 23.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 66.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 68.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.83$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 83.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 10)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.23}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.88}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.12}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.77}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.23
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.77
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.66
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.68
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.23 \times 0.66 = 0.15
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.15 + 0.68 = 0.83
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.15}{0.83} = 0.18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0.83$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 10) = \coefBino{17}{10}\times 0.83^{10} \times 0.17^{7}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{17}{0}\times 0.83^{0} \times 0.17^{17}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 17 \times 0.83 = 14.11
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill PERDRIX Camille}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $8m^3$. La longueur est aussi fixée à $4m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$4m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{2}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=8$, $h$ doit être égale à $2 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
8 &=& h\times x \times 4 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{8}{h\times 4} = \frac{2}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times4\times2 + h\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{2}{x} \times 2 + x\times4\times2 + \frac{2}{x}\times 4\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 8x + 4 + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x\times x}{x} + \frac{4\times x}{x} + \frac{16}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{8x^2 + 4x + 16}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 8x^2 + 4x + 16 \Rightarrow u'(x) = 16x + 4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (16x + 4)\times x - (8x^2 + 4x + 16)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 8x^2 - 16
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{8x^2 - 16}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $8x^2 - 16$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 512 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 1.4142135623730951 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 1.4142135623730951
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $8x^2 - 16$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$8x^2 - 16$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 1.4142135623730951$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=1.4142135623730951$ et $h = 2.8284271247461902$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.3 x - 5.0\right) e^{- x} + 5.0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 5.0 x + \left( x^{2} - 6.3 x - 1.3\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.3*x - 5.0)*exp(-x) + 5.0 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 21.3 - \frac{10.5}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(21.3 - \frac{10.5}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 18997.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 66.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 35.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 28.000000000000004\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.51$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 51.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 11)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.35}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.65}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.81}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.19}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.66
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.34
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.35
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.28
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.66 \times 0.35 = 0.23
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.23 + 0.28 = 0.51
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.23}{0.51} = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.51$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 11) = \coefBino{19}{11}\times 0.51^{11} \times 0.49^{8}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.51^{0} \times 0.49^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.51 = 9.69
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill POISON Lorette}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $35m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{7}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=35$, $h$ doit être égale à $7 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
35 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{35}{h\times 5} = \frac{7}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{7}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{7}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 14 + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{14\times x}{x} + \frac{70}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 14x + 70}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 14x + 70 \Rightarrow u'(x) = 20x + 14
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 14)\times x - (10x^2 + 14x + 70)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 70
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 70}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 70$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 2800 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.6457513110645907 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.6457513110645907
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 70$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 70$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.6457513110645907$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.6457513110645907$ et $h = 18.5202591774521349$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 6.1 x - 3.4\right) e^{- x} + 3.4
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 3.4 x + \left( x^{2} - 4.1 x - 0.7\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 6.1*x - 3.4)*exp(-x) + 3.4 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 14.3 - \frac{1.1}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(14.3 - \frac{1.1}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 12852.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 47.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 95.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 50.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.95$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 95.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 12)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.53
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.95
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.5
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.47 \times 0.95 = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.45 + 0.5 = 0.95
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.45}{0.95} = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.95$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 12) = \coefBino{15}{12}\times 0.95^{12} \times 0.05^{3}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.95^{0} \times 0.05^{15}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 15 \times 0.95 = 14.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill RODRIGUEZ Teddy}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $50m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 20 + \frac{100}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 20x + 100}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 100}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=50$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=50$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
50 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{50}{h\times 5} = \frac{10}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{10}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 20 + \frac{100}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 20 + \frac{100}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{100}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 20x + 100}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 20x + 100 \Rightarrow u'(x) = 20x + 20
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 20)\times x - (10x^2 + 20x + 100)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 100
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 100}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 100$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 4000 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3.162277660168379 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3.162277660168379
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 100$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 100$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.162277660168379$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3.162277660168379$ et $h = 31.622776601683790$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 1.0 x - 3.6\right) e^{- x} + 3.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 3.6 x + \left( x^{2} + x + 4.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 1.0*x - 3.6)*exp(-x) + 3.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{24.6}{e^{4}} + 9.8$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{24.6}{e^{4}} + 9.8)\times 4 \times 15^2 = 9226.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 64.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 4.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 6.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.09$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 9.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 9)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.04}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.96}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.64}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.18}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.82}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.36}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.64
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.36
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.06
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.64 \times 0.04 = 0.03
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.03 + 0.06 = 0.09
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.03}{0.09} = 0.33
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=16$ et $p=0.09$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 9) = \coefBino{16}{9}\times 0.09^{9} \times 0.91^{7}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{16}{0}\times 0.09^{0} \times 0.91^{16}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 16 \times 0.09 = 1.44
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill SAINT CYR Louis}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $45m^3$. La longueur est aussi fixée à $5m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$5m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{9}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 10x + 18 + \frac{90}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{10x^2 + 18x + 90}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 90}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=45$, $h$ doit être égale à $9 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=45$, $h$ doit être égale à $9 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
45 &=& h\times x \times 5 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{45}{h\times 5} = \frac{9}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times5\times2 + h\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{9}{x} \times 2 + x\times5\times2 + \frac{9}{x}\times 5\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 18 + \frac{90}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 10x + 18 + \frac{90}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x\times x}{x} + \frac{18\times x}{x} + \frac{90}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{10x^2 + 18x + 90}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 10x^2 + 18x + 90 \Rightarrow u'(x) = 20x + 18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (20x + 18)\times x - (10x^2 + 18x + 90)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 10x^2 - 90
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{10x^2 - 90}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $10x^2 - 90$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 3600 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $10x^2 - 90$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$10x^2 - 90$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3$ et $h = 27$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 8.0 x - 0.9\right) e^{- x} + 0.9
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 0.9 x + \left( x^{2} - 6.0 x - 5.1\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 8.0*x - 0.9)*exp(-x) + 0.9 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = 8.7 - \frac{13.1}{e^{4}}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(8.7 - \frac{13.1}{e^{4}})\times 4 \times 15^2 = 7614.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 88.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 75.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 4.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.7$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 70.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 14)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.75}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.25}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.88}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.12}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.88
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.04
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.88 \times 0.75 = 0.66
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.66 + 0.04 = 0.7
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.66}{0.7} = 0.94
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.7$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 14) = \coefBino{15}{14}\times 0.7^{14} \times 0.3^{1}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.7^{0} \times 0.3^{15}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 15 \times 0.7 = 10.5
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill SAVIN Lou-Ann}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $18m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{6}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 12 + \frac{36}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 12x + 36}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 36}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=18$, $h$ doit être égale à $6 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=18$, $h$ doit être égale à $6 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
18 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{18}{h\times 3} = \frac{6}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{6}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{6}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 12 + \frac{36}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 12 + \frac{36}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{12\times x}{x} + \frac{36}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 12x + 36}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 12x + 36 \Rightarrow u'(x) = 12x + 12
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 12)\times x - (6x^2 + 12x + 36)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 36
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 36}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 36$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 864 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 2.4494897427831783 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 2.4494897427831783
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 36$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 36$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 2.4494897427831783$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=2.4494897427831783$ et $h = 14.6969384566990698$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 2.7 x - 6.1\right) e^{- x} + 6.1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.1 x + \left( x^{2} - 0.7 x + 5.4\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 2.7*x - 6.1)*exp(-x) + 6.1 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{18.6}{e^{4}} + 19.0$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{18.6}{e^{4}} + 19.0)\times 4 \times 15^2 = 17407.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 47.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 45.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 3.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.24$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 24.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 9)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.45}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.55}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.47}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.05}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.95}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.53}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.47
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.53
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.03
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.47 \times 0.45 = 0.21
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.21 + 0.03 = 0.24
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.21}{0.24} = 0.88
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=19$ et $p=0.24$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 9) = \coefBino{19}{9}\times 0.24^{9} \times 0.76^{10}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{19}{0}\times 0.24^{0} \times 0.76^{19}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 19 \times 0.24 = 4.56
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill SILVA LOPES Katleen}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $27m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{9}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 18 + \frac{54}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 18x + 54}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 54}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=27$, $h$ doit être égale à $9 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=27$, $h$ doit être égale à $9 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
27 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{27}{h\times 3} = \frac{9}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{9}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{9}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 18 + \frac{54}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 18 + \frac{54}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{18\times x}{x} + \frac{54}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 18x + 54}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 18x + 54 \Rightarrow u'(x) = 12x + 18
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 18)\times x - (6x^2 + 18x + 54)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 54
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 54}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 54$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1296 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 54$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 54$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3$ et $h = 27$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 3.0 x - 6.6\right) e^{- x} + 6.6
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 6.6 x + \left( x^{2} - x + 5.6\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 3.0*x - 6.6)*exp(-x) + 6.6 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{17.6}{e^{4}} + 20.8$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{17.6}{e^{4}} + 20.8)\times 4 \times 15^2 = 19010.00000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 43.0\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 31.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 19.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.32$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 32.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 7)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.31}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.69}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.43}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.34}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.66}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.57}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.43
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.57
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.31
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.19
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.43 \times 0.31 = 0.13
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.13 + 0.19 = 0.32
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.13}{0.32} = 0.41
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0.32$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 7) = \coefBino{10}{7}\times 0.32^{7} \times 0.68^{3}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{10}{0}\times 0.32^{0} \times 0.68^{10}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 10 \times 0.32 = 3.2
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,367 @@
|
||||||
|
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
|
||||||
|
\usepackage{myXsim}
|
||||||
|
|
||||||
|
% Title Page
|
||||||
|
\title{DM1 \hfill VANDROUX Guillemette}
|
||||||
|
\tribe{Maths complémentaire}
|
||||||
|
\date{\hfillÀ render pour le jeudi 27 mai}
|
||||||
|
|
||||||
|
\xsimsetup{
|
||||||
|
solution/print = true
|
||||||
|
}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{document}
|
||||||
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière}]
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\textwidth}
|
||||||
|
On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $30m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges.
|
||||||
|
|
||||||
|
On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve.
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\hfill
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.3\textwidth}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubex}{3}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubey}{1}
|
||||||
|
\pgfmathsetmacro{\cubez}{2}
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,-\cubey,0) node [midway, left] {$h$} -- ++(\cubex,0,0) node [midway, below] {$x$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(0,-\cubey,0) -- ++(0,0,\cubez) node [midway, right] {$3m$} -- cycle;
|
||||||
|
\draw[black,fill=gray] (0,0,0) -- ++(-\cubex,0,0) -- ++(0,0,-\cubez) -- ++(\cubex,0,0) -- cycle;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes.
|
||||||
|
\item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{10}{x}$.
|
||||||
|
\item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = 6x + 20 + \frac{60}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S(x) = \frac{6x^2 + 20x + 60}{x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Démontrer que
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 60}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$.
|
||||||
|
\item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Le volume étant fixe si l'on fait varier $x$, $h$ doit aussi varier.
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Si $x = 2$ alors conserver un volume de $V=30$, $h$ doit être égale à $10 / 2$
|
||||||
|
\item Si $x = 3$ alors conserver un volume de $V=30$, $h$ doit être égale à $10 / 3$
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item Pour calculer le volume, on a
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
V &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
30 &=& h\times x \times 3 \\
|
||||||
|
x &=& \frac{30}{h\times 3} = \frac{10}{h}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour calculer la surface totale, on ajoute la surface de chaque face. On a donc le calcul suivant
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& x\times h \times 2 + x\times3\times2 + h\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& x\times \frac{10}{x} \times 2 + x\times3\times2 + \frac{10}{x}\times 3\times 2\\
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 20 + \frac{60}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item Pour trouver cette nouvelle forme, on met chaque élément sur le même dénominateur
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
S(x) &=& 6x + 20 + \frac{60}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x\times x}{x} + \frac{20\times x}{x} + \frac{60}{x}\\
|
||||||
|
S(x) &=& \frac{6x^2 + 20x + 60}{x}
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
\item On retrouve la formule $\frac{u}{v}$ à dériver
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
u(x) = 6x^2 + 20x + 60 \Rightarrow u'(x) = 12x + 20
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
v(x) = x \Rightarrow v'(x) = 1
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Donc au numérateur on obtient
|
||||||
|
\begin{eqnarray*}
|
||||||
|
u'(x)\times v(x) - u(x)\times v'(x) &=& (12x + 20)\times x - (6x^2 + 20x + 60)\times 1\\
|
||||||
|
&=& 6x^2 - 60
|
||||||
|
\end{eqnarray*}
|
||||||
|
Donc
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
S'(x) = \frac{6x^2 - 60}{x^2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Tableau de variations de $S$
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Valeur interdite: $x^2 = 0 \equiv x = 0$
|
||||||
|
\item Signe de $6x^2 - 60$: c'est un polynôme du 2e degré
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
\Delta = 1440 > 0
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Il y a donc 2 racines
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
x_1 = - 3.1622776601683795 \qquad
|
||||||
|
x_2 = 3.1622776601683795
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Et on sait que $6x^2 - 60$ est du signe de $a$ donc positif en dehors des racines
|
||||||
|
\item Le dénominateur $x^2$ est toujours positif.
|
||||||
|
\item Tableau de variations
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north)]
|
||||||
|
\tkzTabInit[lgt=3,espcl=3]{$x$/1,$6x^2 - 60$/1, $x^2$/1, $S'$/1, $S$/2}{$0$, $- 3.1622776601683795$, $10$}
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,+, , +, }
|
||||||
|
\tkzTabLine{d,-, z, +, }
|
||||||
|
\tkzTabVar{D+/ , -/ , +/ }
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item On a donc une surface minimal pour $x=3.1622776601683795$ et $h = 31.6227766016837950$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \left(- x^{2} + 5.0 x - 1.8\right) e^{- x} + 1.8
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
F(x) = 1.8 x + \left( x^{2} - 3.0 x - 1.2\right) e^{- x}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
|
{ (-x**2 + 5.0*x - 1.8)*exp(-x) + 1.8 };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \frac{2.8}{e^{4}} + 8.4$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
(\frac{2.8}{e^{4}} + 8.4)\times 4 \times 15^2 = 7606.000000
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique 55.00000000000001\,\% des stylos, et parmi ceux-là, 46.0\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, 20.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $0.45$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que 45.0\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = 13)$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.46}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.54}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.55}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.44}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.56}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {0.45}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = 0.55
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = 0.46
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = 0.2
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0.55 \times 0.46 = 0.25
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = 0.25 + 0.2 = 0.45
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{0.25}{0.45} = 0.56
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0.45$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 13) = \coefBino{15}{13}\times 0.45^{13} \times 0.55^{2}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{15}{0}\times 0.45^{0} \times 0.55^{15}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = 15 \times 0.45 = 6.75
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
%%% Local Variables:
|
||||||
|
%%% mode: latex
|
||||||
|
%%% TeX-master: "master"
|
||||||
|
%%% End:
|
||||||
Binary file not shown.
|
|
@ -13,8 +13,11 @@
|
||||||
\begin{document}
|
\begin{document}
|
||||||
\maketitle
|
\maketitle
|
||||||
|
|
||||||
|
Les valeurs des exercices sont générés automatiquement. Si une valeur a un nombre adhérant de chiffres après la virgule, vous pouvez l'arrondir à l'entier le plus proche.
|
||||||
|
|
||||||
\Block{include "./tpl_optimisation.tex"}
|
\Block{include "./tpl_optimisation.tex"}
|
||||||
\Block{include "./tpl_bassin.tex"}
|
\Block{include "./tpl_bassin.tex"}
|
||||||
|
\Block{include "./tpl_stylos.tex"}
|
||||||
|
|
||||||
\end{document}
|
\end{document}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
@ -1,50 +1,49 @@
|
||||||
|
%- set latex = sympy.latex
|
||||||
|
%- set sqrt = sympy.sqrt
|
||||||
|
%- set exp = sympy.functions.exp
|
||||||
|
%- set integrate = sympy.integrate
|
||||||
|
|
||||||
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
\begin{exercise}[subtitle={Bassin}]
|
||||||
%- set Vinit = randint(1, 10)*100000
|
%- set a = round(random()*10, 1)
|
||||||
%- set tx = round((random()+1)/2, 1)
|
%- set b = round(random()*10, 1)
|
||||||
Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$).
|
%- set x = sympy.symbols("x")
|
||||||
|
%- set f = -(x**2 - a*x + b)*exp(-x) + b
|
||||||
|
%- set F = integrate(f, x)
|
||||||
|
Le tour d'un bassin au niveau du sol présente deux axes de symétrie : l’axe des abscisses et la droite d’équation $x=4$. Il est obtenu par symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur $\intFF{0}{4}$ où $f$ est la fonction définie par
|
||||||
|
|
||||||
Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{\Var{Vinit}}~dm$^3$.
|
\[
|
||||||
|
f(x) = \Var{latex(f)}
|
||||||
À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de \Var{tx}\,\%.
|
\]
|
||||||
|
On admet que sur $\intFF{0}{4}$ la fonction $f$ est positive.
|
||||||
\begin{enumerate}
|
\begin{enumerate}
|
||||||
%- set v20 = int(Vinit*tx/100)
|
\item Sur un repère, tracer l'allure de la courbe $\mathcal{C}_f$, les axes de symétries puis compléter pour dessiner la forme du bassin.
|
||||||
\item Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{\Var{v20}}~dm$^3$ .
|
\item Montrer que la fonction $f$ admet comme primitive sur $\R$ la fonction $F$ définie par
|
||||||
%- set q = round(random()/10, 2)
|
\[
|
||||||
%- set c = randint(20, 60)*10
|
F(x) = \Var{latex(F) | replace("1.0", "")}
|
||||||
%- set v0 = int(v20 - c)
|
\]
|
||||||
%- set t = sympy.symbols("t")
|
\item Calculer la quantité $\ds \int_0^4 f(x) \; dx$, vous donnerez le résultat sous forme exacte. Interpréter le résultat et reportez cette quantité sur le graphique.
|
||||||
%- set V = v0*exp(- q*t) + c
|
\item On considère que l'échelle de votre graphique est de 1unité pour 15m. Calculer l'aire du bassin. Vous donnerez un résultat arrondi au $m^2$ près.
|
||||||
%- set Vp = V.diff()
|
|
||||||
\item On modélise le volume de CO$_2$ présent dans la pièce par une fonction du temps $t$ écoulé après 20h (exprimé en minutes) qui pour formule $V(t) = V_0e^{-\Var{q}t} + \Var{c}$
|
|
||||||
\begin{enumerate}
|
|
||||||
\item Démontrer que $V_0$ est égale à \np{\Var{v0}}.
|
|
||||||
%- set decal = randint(1, 4)
|
|
||||||
\item Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à \Var{20+decal} h ?
|
|
||||||
\item Démontrer que $V'(t) = \Var{latex(Vp)}$.
|
|
||||||
\item Étudier le signe de $V'(t)$ puis en déduire le sens de variation de $V(t)$.
|
|
||||||
\item Que peut-on dire du volume de CO$_2$ quand $t$ devient grand?
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
\end{enumerate}
|
||||||
\end{exercise}
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
\begin{solution}
|
\begin{solution}
|
||||||
\begin{enumerate}
|
\begin{enumerate}
|
||||||
\item Volume à 20h: $\Var{Vinit}\times \Var{tx/100} = \Var{v20}$
|
|
||||||
\item
|
\item
|
||||||
\begin{enumerate}
|
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.5]
|
||||||
\item $t=0$ correspond à 20h.
|
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
|
||||||
|
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
|
||||||
Donc $V(0) = \Var{v20} = V_0e^{-\Var{q}\times 0} + \Var{c} = V_0 + \Var{c}$
|
\tkzGrid
|
||||||
|
\tkzAxeXY
|
||||||
Donc $V_0 = \Var{v20} - \Var{c} = \Var{v0}$
|
\tkzFct[domain=0:10,color=red,very thick]%
|
||||||
\item Il faut calculer $V(t)$ pour $t = \Var{decal}$ donc
|
{ \Var{f} };
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\item Il faut dériver $F(x)$ et vérifier que $F'(x) = f(x)$.
|
||||||
|
%- set surf = integrate(f, (x, 0, 4))
|
||||||
|
\item $\ds \int_0^4 f(x) \; dx = F(4) - F(0) = \Var{latex(surf)}$
|
||||||
|
\item La quantité calculée à la question précédente se retrouve 4fois pour former le bassin. Il faut ensuite prendre en compte l'échelle, comme 1unité de longueur correspond à 15m, une unité d'air correspond à $15\times15 = 225m^2$. Ainsi l'aire du bassin est égale à
|
||||||
\[
|
\[
|
||||||
V(\Var{decal}) = \Var{round(V.subs(t, str(decal)), 2)}
|
(\Var{latex(surf)})\times 4 \times 15^2 = \Var{round(sympy.N(surf*4*15**2, 10), 0)}
|
||||||
\]
|
\]
|
||||||
\item Pas de correction pour cette question.
|
|
||||||
\item Pas de correction pour cette question.
|
|
||||||
\item Pas de correction pour cette question.
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
|
||||||
\end{enumerate}
|
\end{enumerate}
|
||||||
\end{solution}
|
\end{solution}
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
||||||
|
|
@ -0,0 +1,195 @@
|
||||||
|
\begin{exercise}[subtitle={Stylos}]
|
||||||
|
%- set pA = round(random(), 2)
|
||||||
|
%- set pB = round(1 - pA, 2)
|
||||||
|
%- set pD_A = round(random(), 2)
|
||||||
|
%- set pD_B = round(random(), 2)
|
||||||
|
%- set pDB = round(pB*pD_B, 2)
|
||||||
|
%- set pDA = round(pA*pD_A, 2)
|
||||||
|
%- set pD = round(pDA + pDB, 2)
|
||||||
|
\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes.}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
|
||||||
|
\textbf{Partie A}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Deux ateliers A et B fabriquent des stylos pour une entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'atelier A fabrique \Var{pA*100 | round(2)}\,\% des stylos, et parmi ceux-là, \Var{pD_A*100 | round(2)}\,\% possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
De plus, \Var{pDB*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication et sortent de l'atelier B.
|
||||||
|
|
||||||
|
Un stylo est prélevé au hasard dans le stock de l'entreprise.
|
||||||
|
|
||||||
|
On considère les évènements suivants:
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item A : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier A \fg
|
||||||
|
\item B : \og Le stylo a été fabriqué par l'atelier B \fg
|
||||||
|
\item D : \og Le stylo possède un défaut de fabrication \fg
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {...}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\end{minipage}
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Compléter l'arbre de probabilité ci-contre
|
||||||
|
\item Interpréter puis donner les probabilités $P(A)$, $P(B)$, $P_A(D)$ et $P(B \cap D)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Calculer la probabilité qu'un stylo provienne de l'atelier A et possède un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\item En déduire que la probabilité qu'un stylo possède un défaut de fabrication est de $\Var{pD}$.
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item On prélève un stylo au hasard avec un défaut. Quelle est la probabilité qu'il vienne de l'atelier A?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
|
||||||
|
\bigskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\textbf{Partie B}
|
||||||
|
%- set nbr = randint(10, 20)
|
||||||
|
%- set k = randint(int(nbr/2), nbr)
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
Dans cette partie, on suppose que \Var{pD*100 | round(2)}\,\% des stylos possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
L'entreprise confectionne des paquets contenant chacun $4$~stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
Le fait qu'un stylo possède ou non un défaut de fabrication est indépendant des autres stylos.
|
||||||
|
|
||||||
|
On appelle $X$ la variable aléatoire donnant pour un paquet le nombre de stylos qui possèdent un défaut de fabrication.
|
||||||
|
|
||||||
|
On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
|
||||||
|
|
||||||
|
\medskip
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\setcounter{enumi}{4}
|
||||||
|
\item Avec quelle loi peut-on modéliser $X$. Préciser les paramètres.
|
||||||
|
\item Calculer et interpréter la probabilité $P(X = \Var{k})$.
|
||||||
|
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux qu'un paquet ne comporte aucun stylo défectueux. A-t-il raison ?
|
||||||
|
\item Combien de stylos peut-on espérer avoir en moyenne?
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\pagebreak
|
||||||
|
\end{exercise}
|
||||||
|
|
||||||
|
\begin{solution}
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{center}
|
||||||
|
\begin{tikzpicture}[sloped]
|
||||||
|
\node {.}
|
||||||
|
child {node {$A$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {\Var{pD_A}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {\Var{round(1-pD_A, 2)}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {\Var{pA}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child[missing] {}
|
||||||
|
child { node {$B$}
|
||||||
|
child {node {$D$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {\Var{pD_B}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
child {node {$\overline{D}$}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {\Var{round(1-pD_B, 2)}}
|
||||||
|
}
|
||||||
|
edge from parent
|
||||||
|
node[above] {\Var{pB}}
|
||||||
|
} ;
|
||||||
|
\end{tikzpicture}
|
||||||
|
\end{center}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{itemize}
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier A
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A) = \Var{pA}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(B) = \Var{pB}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ait un défaut sachant qu'il vient de l'atelier A.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_A(D) = \Var{pD_A}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo vienne de l'atelier B et qu'il ait un défaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D \cap D) = \Var{pDB}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{itemize}
|
||||||
|
\item
|
||||||
|
\begin{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'un stylo vienne de l'atelier A et qu'il ait un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(A\cap D) = P(A) \times P_A(D) = \Var{pA} \times \Var{pD_A} = \Var{pDA}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item Probabilité que le stylo ai un défaut de fabrication.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(D) = P(A\cap D) + P(B\cap D) = \Var{pDA} + \Var{pDB} = \Var{pD}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\item Probabilité qu'il vienne de l'atelier A sachant qu'il a un defaut
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P_D(A) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{\Var{pDA}}{\Var{pD}} = \Var{round(pDA/pD, 2)}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item $X$ peut être modélisée par une loi binomiale de paramètres $n=\Var{nbr}$ et $p=\Var{pD}$.
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = \Var{k}) = \coefBino{\Var{nbr}}{\Var{k}}\times \Var{pD}^{\Var{k}} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr-k}}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\item (\textit{par de correction automatique disponible pour le résultat final}
|
||||||
|
|
||||||
|
Il faut calculer la probabilité qu'il y ait 0 stylo avec un defaut.
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
P(X = 0) = \coefBino{\Var{nbr}}{0}\times \Var{pD}^{0} \times \Var{round(1 - pD, 2)}^{\Var{nbr}}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
Puis comparer ce nombre à 0,5.
|
||||||
|
\item Il faut calculer l'espérance
|
||||||
|
\[
|
||||||
|
E[X] = n\times p = \Var{nbr} \times \Var{pD} = \Var{round(nbr*pD, 2)}
|
||||||
|
\]
|
||||||
|
\end{enumerate}
|
||||||
|
\end{solution}
|
||||||
Loading…
Reference in New Issue