diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.pdf b/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.pdf new file mode 100644 index 0000000..8e9c2cb Binary files /dev/null and b/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.pdf differ diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.tex b/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.tex index 84fab19..ed22b2a 100644 --- a/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.tex +++ b/TST/04_Formalisation_des_suites/1B_formalisation.tex @@ -3,7 +3,7 @@ \author{Benjamin Bertrand} \title{Formalisation des suites - Cours} -\date{août 2020 +\date{août 2020} \pagestyle{empty} @@ -11,4 +11,111 @@ \maketitle -\end{document} \ No newline at end of file + +\begin{multicols}{2} + \begin{center} + \large{\textbf{Suite Arithmétique}} + \end{center} + \columnbreak + \begin{center} + \large{\textbf{Suite Géométrique}} + \end{center} +\end{multicols} +\subsection*{Définitions} +\begin{multicols}{2} + Une suite arithmétique modélise les situations où l'on répète une \textbf{addition}. + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[ + roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm}, + ] + %Nodes + \node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}}; + \node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}}; + \node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}}; + \node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}}; + \node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}}; + + %Lines + \path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (deuxieme.west); + \path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (troisieme.west); + \path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west); + \path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$+r$} (der.west); + \end{tikzpicture} + \end{center} + La quantité ajoutée $r$ est appelée la \textbf{raison}. + + \columnbreak + Une suite géométrique modélise les situations où l'on répète une \textbf{multiplication}. + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[ + roundnode/.style={circle, draw=highlightbg, fill=green!5, very thick, minimum size=3mm}, + ] + %Nodes + \node[roundnode] (premier) {\makebox[0.5cm]{$u_0$}}; + \node[roundnode] (deuxieme) [right=of premier] {\makebox[0.5cm]{$u_1$}}; + \node[roundnode] (troisieme) [right=of deuxieme] {\makebox[0.5cm]{$u_2$}}; + \node[roundnode] (ad) [right=of troisieme] {\makebox[0.5cm]{$u_n$}}; + \node[roundnode] (der) [right=of ad] {\makebox[0.5cm]{$u_{n+1}$}}; + + %Lines + \path[->] (premier.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (deuxieme.west); + \path[->] (deuxieme.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (troisieme.west); + \path (troisieme.east) node [right] {....} (ad.west); + \path[->] (ad.east) edge [bend left] node [above] {$\times q$} (der.west); + \end{tikzpicture} + \end{center} + La quantité par laquelle on multiplie $q$ est appelée la \textbf{raison}. +\end{multicols} + +\subsection*{Formules de récurrence} +\begin{multicols}{2} + \[ + u_{n+1} = u_{n} + r + \] + \columnbreak + \[ + u_{n+1} = u_{n} \times q + \] +\end{multicols} + +\subsection*{Formules explicite} +\begin{multicols}{2} + \[ + u_{n} = u_{0} + r\times n + \] + \columnbreak + \[ + u_{n} = u_{0} \times q^n + \] +\end{multicols} +\subsection*{Déterminer la nature d'une suite} +\begin{multicols}{2} + On calcule la \textbf{différence} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$. + \[ + u_1 - u_0 = ... + \] + \[ + u_2 - u_3 = ... + \] + Ou plus généralement, + \[ + u_{n+1} - u_n = ... + \] + + + \columnbreak + + On calcule la \textbf{quotient} entre deux termes consécutifs. Le résultat doit être toujours le même et ne pas dépendre de $n$. + \[ + \frac{u_1}{u_0} = ... + \] + \[ + \frac{u_2}{u_3} = ... + \] + Ou plus généralement, + \[ + \frac{u_{n+1}}{u_n} = ... + \] +\end{multicols} + +\end{document} diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.pdf b/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.pdf index a1e6c90..d6d44c1 100644 Binary files a/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.pdf and b/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.pdf differ diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.tex b/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.tex index 935141e..8e2f8a9 100644 --- a/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.tex +++ b/TST/04_Formalisation_des_suites/1E_formalisation.tex @@ -10,9 +10,12 @@ step=1, } +\pagestyle{empty} + \begin{document} \input{exercises.tex} \printcollection{banque} +\printcollection{banque} \end{document} diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.pdf b/TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.pdf new file mode 100644 index 0000000..cf05305 Binary files /dev/null and b/TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.pdf differ diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.tex b/TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.tex new file mode 100644 index 0000000..1f2af77 --- /dev/null +++ b/TST/04_Formalisation_des_suites/2E_technique.tex @@ -0,0 +1,25 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Formalisation des suites - Cours} +\date{octobre 2020} + +\DeclareExerciseCollection{banque} +\xsimsetup{ + step=2, +} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\input{exercises.tex} +\printcollection{banque} +\vfill +\printcollection{banque} +\vfill +\printcollection{banque} +\vfill + +\end{document} diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/exercises.tex b/TST/04_Formalisation_des_suites/exercises.tex index baaa8c1..7dcd5e0 100644 --- a/TST/04_Formalisation_des_suites/exercises.tex +++ b/TST/04_Formalisation_des_suites/exercises.tex @@ -1,35 +1,35 @@ \collectexercises{banque} \begin{exercise}[subtitle={Continuer une suite}, step={1}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}] - Ci-dessous, vous trouverez 2 début de suites de nombre. + Ci-dessous, vous trouverez des débuts de suites de nombre. + \begin{multicols}{3} + \begin{enumerate} + \item $u_0 = 10$, $u_1 = 15$, $u_2 = 22.5$ + \item $v_0 = 10$, $v_1 = 15$, $v_2 = 20$ + + \item $w_0 = 90$, $w_1 = 108$, $w_2 = 129,6$ + \item $x_0 = 90$, $x_1 = 54$, $x_2 = 32.4$ + + \item $y_0 = 5$, $y_1 = 2$, $y_2 = -1$ + \item $z_0 = 5$, $z_1 = 25$, $z_2 = 125$ + \end{enumerate} + \end{multicols} \begin{enumerate} - \item Identifier la nature des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ - \item Calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme. - \item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite arithmétique. - \item Donner une formule générale pour calculer le n-ième terme d'une suite géométrique. + \item Identifier la nature et les paramètres des suites. + \item Pour chaque suites, calculer les 3 termes qui suivent, le 10e terme, le 100e et le 1000e terme. \end{enumerate} \end{exercise} \begin{exercise}[subtitle={Placement banquaire}, step={1}, origin={??}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}] On veut placer sur un compte en banque 1000\euro. Le banquier propose deux solutions. + \begin{itemize} + \item Placement à rendement fixe: la valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année. + \item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 4\% chaque année. + \end{itemize} + \begin{enumerate} - \item Placement à rendement fixe: La valeur du compte en banque augmente de 5\% du placement initiale chaque année. - \begin{enumerate} - \item Calculer le solde du placement après 1 an, 2ans 3ans. - \item On note $(u_n)$ la suite qui modélise le solde du placement en fonction de l'année $n$. Déterminer la nature de la suite ainsi que ses paramètres. - \item Écrire une formule qui modélise le passage de $u_n$ à $u_{n+1}$. - \item Calculer $u_{50}$. Interpréter. - \item Écrire une formule qui calcule $u_n$ pour n'importe quelle valeur de $n$. - \end{enumerate} - \item Placement avec intérêt composés: la valeur du compte en banque augmente de 3\% chaque année. - \begin{enumerate} - \item Calculer le solde du placement après 1 an, 2ans 3ans. - \item On note $(v_n)$ la suite qui modélise le solde du placement en fonction de l'année $n$. Déterminer la nature de la suite ainsi que ses paramètres. - \item Écrire une formule qui modélise le passage de $v_n$ à $v_{n+1}$. - \item Calculer $v_{50}$. Interpréter. - \item Écrire une formule qui calcule $v_n$ pour n'importe quelle valeur de $n$. - \end{enumerate} - \item (*) Déterminer le nombre d'année avant que le placement à intérêt composés dépasse le placement à rendement fixe. + \item Pour chaque placement, calculer le solde du compte après 1an, 2ans puis 3ans. + \item Combien de temps doit-on attendre avant que le placement avec intérêt composés devienne plus rentable que l'autre placement? \end{enumerate} \end{exercise} @@ -50,5 +50,38 @@ \end{enumerate} \end{exercise} +\begin{exercise}[subtitle={Évaluation de suites}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}] + Pour chacune des suites suivantes, calculer 3 premiers termes, identifier la nature et les paramètres de la suite, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. + + \begin{multicols}{3} + \begin{enumerate} + \item $u_{n+1} = u_n + 6$ et $u_0 = 10$ + \item $u_{n+1} = -0.5 + u_n$ et $u_0 = 15$ + \item $u_{n+1} = 1.3u_n$ et $u_0 = 2$ + + \item $u_{n+1} = 0.95u_n$ et $u_0 = 10$ + \item $u_{n} = 2n + 5$ + \item $u_{n} = 10\times0.5^n$ + + \item $u_{n} = 2u_n-5$ et $u_0 = 10$ + \item $u_{n} = 0.3\times 4^n$ + \item $u_{n} = 2n^2 - n + 2$ + \end{enumerate} + \end{multicols} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Retrouver ce qui manque}, step={2}, origin={Création}, topics={Formalisation des suites}, tags={Suites, Analyse}] + Pour chacune des suites suivantes retrouver la raison et le premier terme, écrire la relation de récurrence puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$. + \begin{multicols}{2} + \begin{enumerate} + \item $(u_n)$ suite arithmétique telle que $u_2 = 10$ et $u_4=20$. + \item $(v_n)$ suite arithmétique telle que $u_{10} = 5$ et $u_{15} = 6$. + + \item $(w_n)$ suite géométrique telle que $u_2 = 5$ et $u_3 = 6$. + \item $(x_n)$ suite géométrique telle que $u_3 = 10$ et $u_5 = 20$. + \end{enumerate} + \end{multicols} +\end{exercise} + \collectexercisesstop{banque} diff --git a/TST/04_Formalisation_des_suites/index.rst b/TST/04_Formalisation_des_suites/index.rst index 5ced085..55f71c4 100644 --- a/TST/04_Formalisation_des_suites/index.rst +++ b/TST/04_Formalisation_des_suites/index.rst @@ -2,7 +2,7 @@ Formalisation des suites ######################## :date: 2020-08-24 -:modified: 2020-10-07 +:modified: 2020-10-08 :authors: Benjamin Bertrand :tags: Suites, Analyse :category: TST @@ -11,6 +11,10 @@ Formalisation des suites Étape 1: Trouver les formules explicites ======================================== +.. image:: ./1E_formalisation.pdf + :height: 200px + :alt: Calculs de termes d'une suite + Les élèves choisissent une suite géométrique et une suite arithmétique. Ils doivent calculer u100 et u1000! .. image:: ./1E_formalisation.pdf @@ -19,6 +23,9 @@ Les élèves choisissent une suite géométrique et une suite arithmétique. Ils Formalisation dans le cours des deux formules trouvées. +.. image:: ./1B_formalisation.pdf + :height: 200px + :alt: Toutes les formules sur les suites Étape 2: Technique ================== @@ -27,6 +34,11 @@ Calculer les termes d'une suite à partir de différentes formes. Passage explicite <-> recu. À partir de deux termes + nature ou de 3 termes retrouver u0 et la raison. +.. image:: ./2E_technique.pdf + :height: 200px + :alt: Exercices techniques pour retrouver la raison et le premier terme. + + Étape 3: Moyenne arithmétique et géométrique ============================================ @@ -37,4 +49,7 @@ Questions d'intro puis cours puis exercices techniques. Type E3C - +Exercices à revoir mais sympa: +- MATH2T-122A0-1125 (avec graph exponentiel) +- MATH2T-122A0-1130 (avec formule explicite) +- MATH2T-123A0-1126 (formule puis modélisation) diff --git a/TST_sti2d/03_Complexes/1B_forme_algebrique.pdf b/TST_sti2d/03_Complexes/1B_forme_algebrique.pdf index ba099e2..c6d7d04 100644 Binary files a/TST_sti2d/03_Complexes/1B_forme_algebrique.pdf and b/TST_sti2d/03_Complexes/1B_forme_algebrique.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.pdf b/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.pdf index 605f38f..e55c1e9 100644 Binary files a/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.pdf and b/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.tex b/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.tex index c8a2c3a..5618229 100644 --- a/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.tex +++ b/TST_sti2d/03_Complexes/1E_forme_algebrique.tex @@ -1,5 +1,6 @@ \documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage{myXsim} +\usepackage[europeanresistors]{circuitikz} \author{Benjamin Bertrand} \title{Complexes - Cours} diff --git a/TST_sti2d/03_Complexes/exercises.tex b/TST_sti2d/03_Complexes/exercises.tex index eec54d1..dd53694 100644 --- a/TST_sti2d/03_Complexes/exercises.tex +++ b/TST_sti2d/03_Complexes/exercises.tex @@ -26,5 +26,22 @@ \end{enumerate} \end{exercise} +\begin{exercise}[subtitle={Impédence d'un circuit}, step={1}, origin={Création}, topics={Complexes}, tags={Complexes, Trigonométrie}] + Soit 3 dipôles dont l'impédance est modélisée par les nombres complexes suivants + % $Z_1 = 1 + j \qquad \qquad Z_2 = j \qquad \qquad Z_3 = 2 + j$ + + \begin{circuitikz} + \draw (0,0) to[R, l=$Z_1$, a=$1+j$](2,0) + \end{circuitikz} + % \begin{circuitikz} + % \draw (0,0) to[R, l=$Z_2$, a=$j$](2,0); + % \end{circuitikz} + % \begin{circuitikz} + % \draw (0,0) to[R, l=$Z_3$, a=$2+j$](2,0); + % \end{circuitikz} + +\end{exercise} + + \collectexercisesstop{banque}