diff --git a/TST/12_Fonction_inverse/3E_type.pdf b/TST/12_Fonction_inverse/3E_type.pdf new file mode 100644 index 0000000..5ead246 Binary files /dev/null and b/TST/12_Fonction_inverse/3E_type.pdf differ diff --git a/TST/12_Fonction_inverse/3E_type.tex b/TST/12_Fonction_inverse/3E_type.tex new file mode 100644 index 0000000..6cc67e7 --- /dev/null +++ b/TST/12_Fonction_inverse/3E_type.tex @@ -0,0 +1,20 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Fonction inverse - exercices } +\date{Mai 2021} + +\DeclareExerciseCollection{banque} +\xsimsetup{ + step=3, +} + +\setlength\columnsep{10pt} + +\begin{document} + +\input{exercises.tex} +\printcollection{banque} + +\end{document} diff --git a/TST/12_Fonction_inverse/exercises.tex b/TST/12_Fonction_inverse/exercises.tex index 14d1e4e..46ea3e2 100644 --- a/TST/12_Fonction_inverse/exercises.tex +++ b/TST/12_Fonction_inverse/exercises.tex @@ -1,5 +1,5 @@ \collectexercises{banque} -\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}] +\begin{exercise}[subtitle={"factorisation"}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}] Démontrer les égalités suivantes \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} @@ -15,7 +15,7 @@ \end{multicols} \end{exercise} -\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonctions inverse}] +\begin{exercise}[subtitle={Dérivation}, step={2}, origin={Création}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}] \begin{enumerate} \item Dériver les fonctions suivantes \begin{multicols}{4} @@ -38,4 +38,80 @@ \item Pour chacune des fonctions, étudier le signe de leur dérivée puis en déduire leurs variations. \end{enumerate} \end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Histoire de coûts}, step={3}, origin={Sigma 140p122}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}] + \begin{definition} + Le \textbf{coût moyen unitaire} quand on fabrique $q$ unité est $C_m(q) = \frac{C(q)}{q}$ où $C(q)$ est le coût total pour produire $q$ unités. + \end{definition} + \noindent + \begin{minipage}{0.6\linewidth} + Une entreprise fabrique chaque jour entre $0$ et $30m^3$ de produit chimique. + \begin{enumerate} + \item Soit $C$ la fonction qui modélise ses coûts de fabrication. Elle est définie sur l'intervalle $\intFF{0}{30}$ par $C(x) = x^2 + 50x + 100$ et exprimée en euros. + \begin{enumerate} + \item Calculer le coût de production total pour $10m^3$. + \item Calculer le coût moyen unitaire pour $10m^3$. + \end{enumerate} + \item On définit la fonction $f$ qui modélise le coût moyen unitaire en fonction de la quantité $x$ par la fonction $f(x) = \frac{C(x)}{x}$ sur l'intervalle $\intFF{1}{30}$. On a représenté cette fonction ci-contre. + + \begin{enumerate} + \item Déterminer graphiquement une valeur approchée de $f(5)$ puis de $f(25)$. + \item Déterminer graphiquement quelles quantité doivent être produite pour avoir un coût unitaire moyen inférieur à 80. + \end{enumerate} + \end{enumerate} + \end{minipage} + \begin{minipage}{0.4\linewidth} + \begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1, yscale=0.4] + \tkzInit[xmin=0,xmax=30,xstep=5, + ymin=0,ymax=150,ystep=10] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain=1:30,color=red,very thick]% + {\x+50+100/\x}; + \end{tikzpicture} + + \end{minipage} + + \begin{enumerate} + \setcounter{enumi}{2} + \item + \begin{enumerate} + \item Démontrer que $f(x) = x + 50 + \frac{100}{x}$.. + \item Dériver la fonction $f$ puis démontrer que l'on a + \[ + f'(x) = \frac{(x-10)(x+10)}{x^2} + \] + \item Étudier le signe de $f'(x)$ puis en déduire les variations de $f(x)$. + \item Déterminer la quantité à produire pour que le coût moyen de production soit minimal. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Optimisation de matière première}, step={3}, origin={???}, topics={Fonction inverse}, tags={fonction inverse}] + \begin{minipage}{0.6\textwidth} + On se propose de fabriquer avec le moins de tôle possible une citerne fermée en forme de parallélépipède rectangle dont le volume intérieur doit être de $12m^3$. La longueur est aussi fixée à $3m$ par le cahier des charges. + + On peut donc faire varier uniquement la largeur (notée $x$) et la hauteur (notée $h$) de la cuve. + \end{minipage} + \hfill + \begin{minipage}{0.3\textwidth} + \includegraphics[scale=0.8]{./fig/citerne} + \end{minipage} + + \begin{enumerate} + \item Expliquer pourquoi quand la largeur $x$ change, la hauteur $h$ doit elle aussi changer pour respecter les contraintes. + \item Démontrer que l'on doit avoir $h = \dfrac{4}{x}$. + \item On note $S(x)$ l'aire totale de la citerne (c'est à dire la somme des aires des six faces). Montrer que l'on peut écrire + \[ + S(x) = 6x + 8 + \frac{24}{x} + \] + \item Démontrer que + \[ + S'(x) = \frac{6(x-2)(x+2)}{x^2} + \] + \item En déduire le tableau de variation de $S(x)$ sur $\intOF{0}{10}$. + \item Déterminer les valeurs de $x$ et $h$ correspondant à une utilisation minimal de tôle. + \end{enumerate} +\end{exercise} + \collectexercisesstop{banque} diff --git a/TST/12_Fonction_inverse/fig/citerne.pdf b/TST/12_Fonction_inverse/fig/citerne.pdf new file mode 100644 index 0000000..6b7a307 Binary files /dev/null and b/TST/12_Fonction_inverse/fig/citerne.pdf differ diff --git a/TST/12_Fonction_inverse/fig/citerne.svg b/TST/12_Fonction_inverse/fig/citerne.svg new file mode 100644 index 0000000..5dbaf41 --- /dev/null +++ b/TST/12_Fonction_inverse/fig/citerne.svg @@ -0,0 +1,132 @@ + + + + + + + + + + + + image/svg+xml + + + + + + + + + + + + + 3m + x + h + + diff --git a/TST/12_Fonction_inverse/index.rst b/TST/12_Fonction_inverse/index.rst index f7c8007..ddfc2ba 100644 --- a/TST/12_Fonction_inverse/index.rst +++ b/TST/12_Fonction_inverse/index.rst @@ -2,7 +2,7 @@ Fonction inverse ################ :date: 2021-05-06 -:modified: 2021-05-18 +:modified: 2021-05-21 :authors: Benjamin Bertrand :tags: Fonctions inverse :category: TST @@ -43,3 +43,8 @@ Bilan: Dérivée de la fonction inverse Étape 3: Bastonage sur des exercices types. =========================================== +Exercices classiques sur l'utilisation de l'inverse + +.. image:: ./3E_type.pdf + :height: 200px + :alt: Exercices classiques sur l'utilisation de l'inverse