diff --git a/TST/DS/DS_21_04_07/tpl_210407_DS8.tex b/TST/DS/DS_21_04_07/tpl_210407_DS8.tex new file mode 100644 index 0000000..0087f72 --- /dev/null +++ b/TST/DS/DS_21_04_07/tpl_210407_DS8.tex @@ -0,0 +1,285 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +% Title Page +\title{DS8 \hfill \Var{Nom}} +\tribe{TST} +\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 7 avril} + +\xsimsetup{ + solution/print = false +} + +\begin{document} +\maketitle + +\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}] + \textit{Toutes les questions de cette exercice sont indépendantes et peuvent être répondus séparément} + \begin{enumerate} + %- set t = randint(10, 30) + \item De janvier à septembre, une quantité a augmenté de $\Var{t}\,\%$. Faire un schéma pour représenter la situation puis calculer le taux d'évolution moyen mensuel. + %- set valeur = randint(110, 150) + \item Une quantité augmente de $\Var{t}\,\%$ par ans. En 2020, elle est de \Var{valeur}\euro. Quelle était sa valeur en 2019? Faire un schéma pour représenter la situation. + \item Déterminer l'équation de la droite + %- set b = randint(-4, -1) + %- set denom = randint(2, 4) + %- set a = -2*b/denom + + \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5] + \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, + ymin=-5,ymax=5,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]% + {\Var{a}*\x \Var{b}}; + \end{tikzpicture} + %- set a4 = randint(2, 50) + %- set b4 = round(random(), 2) + %- set c4 = randint(2, 10) + \item Résoudre l'équation $\Var{c4} \times \Var{b4}^x = \Var{a4}$ + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{solution} + \begin{enumerate} + \item On veut partager cette évolution en 8 évolutions. + %- set cm = round( (1+t/100)**(1/8), 4) + \[ + \left(1 + \frac{\Var{t}}{100}\right)^{\frac{1}{8}} = \Var{cm} + \] + Donc le taux d'évolution moyen est + \[ + t_m = \Var{cm} - 1 = \Var{cm - 1} + \] + \item Coefficient multiplicateur pour revenir en arrière + %- set cm = round( (1+t/100)**(-1), 4) + \[ + CM = (1 + \frac{\Var{t}}{100})^{-1} = \Var{cm} + \] + On en déduit la quantité en 2019 + \[ + \Var{valeur} * \Var{cm} = \Var{valeur*cm} + \] + \item L'équation de la droite est + \[ + y = \Var{a} x \Var{b} + \] + \item Il faut penser à faire la division à par $\Var{c4}$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$. + + \[x = \frac{\log(\Var{round(a4/c4, 2)})}{\log(\Var{b4})}\] + \end{enumerate} +\end{solution} + +\begin{exercise}[subtitle={Restaurant}] + %- set p_M = round(random(), 2) + %- set p_S = round(1-p_M, 2) + %- set p_M_B = 0.25 + %- set p_M_W = 0.75 + %- set p_S_W = round(random(), 2) + %- set p_S_B = round(1-p_S_W, 2) + %- set p_B = round(p_S*p_S_B + p_M*p_M_B, 4) + Un \emph{food truck}, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules : + + \setlength\parindent{10mm} + \begin{itemize} + \item la formule \emph{Burger} ; + \item la formule \emph{Wok}. + \end{itemize} + \setlength\parindent{0mm} + + \medskip + + Le gérant a remarqué que \Var{int(p_M*100)}\,\% de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule \emph{Burger}, alors que \Var{int(p_S_W*100)}\,\% des ventes du soir correspondent à la formule \emph{Wok}. + + Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir). + + On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants: + + \begin{enumerate} + \item $M$ : \og la fiche correspond à une vente du midi\fg{} ; + \item $S$ : \og la fiche correspond à une vente du soir\fg {}; + \item $W$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Wok} \fg{} ; + \item $B$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Burger} \fg. + \end{enumerate} + \setlength\parindent{0mm} + + \medskip + + \begin{enumerate} + \item Recopier puis compléter l'arbre pondéré + + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[sloped] + \node {.} + child {node {$M$} + child {node {$W$} + edge from parent + node[above] {...} + } + child {node {$B$} + edge from parent + node[above] {...} + } + edge from parent + node[above] {...} + } + child[missing] {} + child { node {$S$} + child {node {$W$} + edge from parent + node[above] {...} + } + child {node {$B$} + edge from parent + node[above] {...} + } + edge from parent + node[above] {...} + } ; + \end{tikzpicture} + \end{center} + + \item Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap W$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. + \item Montrer que la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule \emph{Burger} est égale à $\Var{p_B}$. + \item On a prélevé une fiche correspondant à la formule \emph{Burger}. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que la vente ait eu lieu le soir? + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{solution} + \begin{enumerate} + \item + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[sloped] + \node {.} + child {node {$M$} + child {node {$W$} + edge from parent + node[above] {$\Var{p_M_W}$} + } + child {node {$B$} + edge from parent + node[above] {$\Var{p_M_B}$} + } + edge from parent + node[above] {$\Var{p_M}$} + } + child[missing] {} + child { node {$S$} + child {node {$W$} + edge from parent + node[above] {$\Var{p_S_W}$} + } + child {node {$B$} + edge from parent + node[above] {$\Var{p_S_B}$} + } + edge from parent + node[above] {$\Var{p_S}$} + } ; + \end{tikzpicture} + \end{center} + \item On calcule la probabilité que la vente soit un wok et ait eu lieu à midi + \[ P(M\cap W) = P(M) \times P_M(W) = \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} = \Var{round(p_M * p_M_W, 4)} \] + \item Probabilité que la vente soit un burger. + \[ + P(B) = P(M\cap B) + P(S\cap B) = \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} + \Var{p_S} \times \Var{p_S_W} = \Var{p_B} + \] + \item On cherche à calculer la quantité $P_B(S)$. Pour cela on utilise la formule de Bayes + \[ + P_B(S) = \frac{P(B\cap S)}{P(B)} = \frac{P_S(B) \times P(S)}{P(B)} = \frac{\Var{p_S_B}\times \Var{p_S}}{\Var{p_B}} = \Var{p_S_B*p_S/p_B} \approx \Var{round(p_S_B*p_S/p_B, 3)} + \] + \end{enumerate} +\end{solution} + +\begin{exercise}[subtitle={Continent plastique}] + \textit{Les quantités évoqués dans cette exercices sont générés au hasard et sont donc complètement farfelus.} + \medskip + %- set u0 = randint(2, 20) + %- set t = round(0.1 + 0.2*random(), 2) + %- set q = 1 + t + Le \og continent de plastique\fg{} est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l'océan Pacifique une surface dont l'aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie. + + En 2017, des scientifiques ont estimé qu'il y avait $\Var{u0}$ millions de tonnes de déchets plastiques qui était déversé chaque année dans les océans et que cette quantité augmentait de $\Var{int(t*100)}\n\%$ par chaque année. + + On modélise l'évolution de la masse de ces déchets plastiques déversée chaque année, si rien n'est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$. L'arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse de ces déchets déversée chaque année, exprimée en million de tonnes, pour l'année $(2017 + n)$. + + \medskip + + \begin{enumerate} + \item Expliquer pourquoi la suite $u_n$ est géométrique? + \item Calculer $u_1$ et $u_2$. + \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. + \item Au début de l'année 2017, il y avait $300$ millions de tonnes de déchets plastique. Calculer la quantité totale de déchets plastiques en 2030. + \item On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50$\,\% par rapport à sa valeur de 2017. + \begin{enumerate} + \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé. + + \begin{center} + \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline + $N \gets 2017$\\ + $U \gets \Var{u0}$ \\ + $S \gets 300 + U$ \\ + Tant que $S < 450$ \\ + \hspace{1cm} $N \gets \ldots$\\ + \hspace{1cm} $U \gets \ldots$\\ + \hspace{1cm} $S \gets \ldots$\\ + Fin Tant que\\\hline + \end{tabularx} + \end{center} + \item Que contiennent les variables $S$, $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme ? + + Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{solution} + \begin{enumerate} + \item Une augmentation de $\Var{int(t*100)}\,\%$ revient à multiplier la quantité par $\Var{q}$. La suite est donc bien géométrique. Son premier terme est $u_0 = \Var{u0}$ et sa raison est $q = \Var{q}$ + \item + \[ + u_1 = u_0 * \Var{q} = \Var{u0*q} + \] + \[ + u_2 = u_0 * \Var{q}^2 = \Var{round(u0*q**2, 4)} + \] + \item + \[ + u_n = u_0 \times q^n = \Var{u0} \times \Var{q}^n + \] + \item On calcule la quantité totale déversée entre 2017 et 2030. + %- set somme = round(u0 * (1-q**13)/(1-q), 2) + \[ + \sum_{n = 0}^{13} u_n = u_0 \times \frac{1-q^{13}}{1-q} = \Var{u0} \times \frac{1 - \Var{q}^{13}}{1 - \Var{q}} = \Var{somme} + \] + On en déduit la quantité totale de déchets en 2030 + \[ + 300 + \Var{somme} = \Var{300 + somme} + \] + \item + \begin{enumerate} + \item ~ + \begin{center} + \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline + $N \gets 2017$\\ + $U \gets \Var{u0}$ \\ + $S \gets 300 + U$ \\ + Tant que $S < 450$ \\ + \hspace{1cm} $N \gets N + 1$\\ + \hspace{1cm} $U \gets U * \Var{q}$\\ + \hspace{1cm} $S \gets S + u$\\ + Fin Tant que\\\hline + \end{tabularx} + \end{center} + \item \textit{Pas de correction automatisé} + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{solution} + +\end{document} + +%%% Local Variables: +%%% mode: latex +%%% TeX-master: "master" +%%% End: +