diff --git a/Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.pdf b/Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.pdf new file mode 100644 index 0000000..dd97f14 Binary files /dev/null and b/Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.pdf differ diff --git a/Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.tex b/Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.tex new file mode 100644 index 0000000..64a763a --- /dev/null +++ b/Complementaire/03_Logarithme/2B_def_ln.tex @@ -0,0 +1,47 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Logarithme - Cours} +\date{avril 2021} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\maketitle + +\setcounter{section}{1} +\section{Logarithmes} + +Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions. + +\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes] + Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation + \[ + \forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b) = f(a) + f(b) + \] + Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes. +\end{propriete} + +\begin{definition}[Logarithme népérien] + On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie + \[ + f(e) = 1 + \] + On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif. + + On a en particulier + \[ + \ln(e) = 1 + \] +\end{definition} + +\paragraph{Autres logarithmes remarquables}% +\begin{itemize} + \item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$. + \item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$. +\end{itemize} + + +\end{document} diff --git a/Complementaire/03_Logarithme/3B_echelles_log.tex b/Complementaire/03_Logarithme/3B_echelles_log.tex new file mode 100644 index 0000000..2d3c71d --- /dev/null +++ b/Complementaire/03_Logarithme/3B_echelles_log.tex @@ -0,0 +1,104 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Logarithme - Cours} +\date{avril 2021} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\maketitle + +\setcounter{section}{1} +\section{Logarithme népérien} + +Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions. + +\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes] + Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation + \[ + \forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b) = f(a) + f(b) + \] + Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes. +\end{propriete} + +\begin{definition}[Logarithme népérien] + On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie + \[ + f(e) = 1 + \] + On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif. + + On a en particulier + \[ + \ln(e) = 1 + \] +\end{definition} + +\paragraph{Autres logarithmes remarquables}% +\begin{itemize} + \item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$. + \item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$. +\end{itemize} + +\begin{propriete}[ Règles de calculs ] + Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs + \begin{eqnarray*} + ln(1) &=& 0\\ + ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\ + ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\ + ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\ + \end{eqnarray*} +\end{propriete} + +\paragraph{Démonstration}% +\label{par:Démonstration} +\afaire{Démontrer la première égalité en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ avec $a=b=1$ } +\afaire{Calculer $\ln(a^2)$, $\ln(a^3)$ et $\ln(a^4)$ en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ pour vérifier la 2e égalité} + +\paragraph{Exemples d'utilisation}% + + + +\begin{definition}[Logarithme népérien] +Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$. + +$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter +\[ + e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b +\] + +La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$ + +\end{definition} + + +\subsection*{Valeurs particulières du logarithme} + +\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$} + +\subsection*{Propriétés} + +\begin{itemize} + \item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$ + \item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$ +\end{itemize} + +\section{Utilisation pour résoudre des équations} + +Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances. + +\subsection*{Propriétés} +Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé. +\begin{itemize} + \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$. + \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution. + \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$. +\end{itemize} + +\subsubsection*{Exemple} +\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$} + +\end{document} diff --git a/Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.pdf b/Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.pdf new file mode 100644 index 0000000..c213b2e Binary files /dev/null and b/Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.pdf differ diff --git a/Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.tex b/Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.tex new file mode 100644 index 0000000..10fdbce --- /dev/null +++ b/Complementaire/03_Logarithme/4B_rel_fonctionnelles.tex @@ -0,0 +1,57 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Logarithme - Cours} +\date{avril 2021} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\maketitle + +\setcounter{section}{2} + +\section{Règles de calculs et équations avec les logarithmes} + +\begin{propriete}[ Règles de calculs ] + Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs + \begin{eqnarray*} + ln(1) &=& 0\\ + ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\ + ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\ + ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\ + \end{eqnarray*} +\end{propriete} + +\paragraph{Démonstration}% +\label{par:Démonstration} +\begin{itemize} + \item $\ln(1) = 0$ + \vspace{2cm} + \item $\ln(\frac{1}{a}) = -\ln(a)$ + \vspace{2cm} +\end{itemize} + + +\paragraph{Exemples d'utilisation}% +\afaire{Écrire sous la forme d'une seul logarithme $A = 3\ln(8) - \ln(2) + 4\ln(5)$} +\afaire{Démontrer l'égalité $\ln(6x) + \ln(\frac{x}{2}) +\ln(\frac{x}{3}) = 3\ln(x)$} + + +Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances. + +\subsection*{Propriétés} +Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé. +\begin{itemize} + \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$. + \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution. + \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$. +\end{itemize} + +\subsubsection*{Exemple} +\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$} +\afaire{Résoudre l'équation $\ln(2x+1) = 10$} + +\end{document} diff --git a/Complementaire/03_Logarithme/index.rst b/Complementaire/03_Logarithme/index.rst index a21ffb2..cb5224e 100644 --- a/Complementaire/03_Logarithme/index.rst +++ b/Complementaire/03_Logarithme/index.rst @@ -2,7 +2,7 @@ Logarithme ########## :date: 2021-04-25 -:modified: 2021-04-27 +:modified: 2021-04-28 :authors: Benjamin Bertrand :tags: Exponentielle, Logarithme :category: Complementaire @@ -26,6 +26,8 @@ Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponen Étape 2: Approche historique du log =================================== +Cours discuté sur la réalisation de multiplications avec des additions. + .. image:: ./2P_sans_calculatrice.pdf :height: 200px :alt: Faire des multiplications sans calculatrices @@ -33,3 +35,35 @@ Exercices: Exercices techniques sur la manipulation d'expressions avec l'exponen .. image:: ./2E_table_log.pdf :height: 200px :alt: Table de log + +Bilan: définition des logs + +.. image:: ./2B_def_ln.pdf + :height: 200px + :alt: Définition des logarithmes + +Étape 3: Un monde multiplicatif +=============================== + +Mises en situation des phénomènes multiplicatifs autour de nous et de la nécessité d'utiliser les logs + +Thèmes: +- Ordre de grandeur +- Suivi épidémique +- pH +- Intensité électrique, sonore, sismique +- quantité d'information + +Bilan: échelle logarithmique + +Étape 4: Relations fonctionnelles et équations +============================================== + +Bilan: Autres relations fonctionnelles et résolutions d'(in)équations + +.. image:: ./4B_rel_fonctionnelles.pdf + :height: 200px + :alt: Manipulations du log et équations + +Étape 5: Étude de la fonction ln +================================