Feat: DS2 pour les maths complémentaires
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\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\usepackage{fp}
\usepackage{ifthen}
% Title Page
\title{DS 2}
\tribe{Math complémentaires}
\date{10 mai 2021}
\duree{1h}
\newcounter{mycount}
\newcommand\tablelog{%
\setcounter{mycount}{0}
\begin{multicols}{5}
\whiledo{\value{mycount}<250}
{
\stepcounter{mycount}%
\stepcounter{mycount}%
\makebox[4em]{\themycount}% steps the counter and typesets the value of t
\FPln{\natlogoft}{\themycount}
\FPeval{\res}{round(\natlogoft, 3)}\res\\
}% calculates Ln(t) and typsets it
\end{multicols}
}
\begin{document}
\maketitle
Le barème est donné à titre indicatif, il pourra être modifié.
\begin{exercise}[subtitle={Questions diverses}, points=5, tribe={complémentaire}, type={Exercise}, origin={ES - avril 2016 Pondichery}, tribe={1}]
Dans cet exercices les questions sont indépendantes et peuvent être répondues séparément.
\begin{enumerate}
\item Réaliser la multiplication $8\times 28$ en utilisant la table de logarithme ci-dessous (vous devrez détailler les étapes)
\tablelog
\item Ci-dessous vous trouverez le nombre de personnes hospitalisées entre le moi de mai et de juillet 2020 à cause du covid.
\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
\hline
Date & 2020-05-01 & 2020-05-15 & 2020-06-01 & 2020-06-15 & 2020-07-01 & 2020-07-15 \\
\hline
Hospitalisés & 25809 & 19801 & 14237 & 10707 & 8291 & 6873 \\
\hline
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item Placer les données sur le graphique suivant
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1.2, yscale=0.8]
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
ymin=0,ymax=30000,ystep=5000]
\tkzGrid
\tkzDrawY[label=Hospitalisés, right=1pt]
\tkzLabelY
\tkzDrawX[label=Date]
\end{tikzpicture}
\item Placer les données sur le graphique suivant en prenant le logarithme du nombre d'hospitalisations.
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=1.2, yscale=0.7]
\tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1,
ymin=0,ymax=6,ystep=1]
\tkzGrid
\tkzDrawY[label=$\log$(Hospitalisés), right=1pt]
\tkzLabelY
\tkzDrawX[label=Date]
\end{tikzpicture}
\end{multicols}
\item Nommer les deux courbes obtenues et expliquer en une phrase l'intérêt du graphique de droite.
\end{enumerate}
\item Résoudre l'inéquation suivante
\[
3e^{x+1} - 4 = 10
\]
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Baccalauréat}, points=5, tribe={complémentaire}, type={Exercise}, origin={ES - avril 2016 Pondichery}, tribe={1}]
On dispose des renseignements suivants à propos du baccalauréat session 2015 :
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]49\,\% des inscrits ont passé un baccalauréat général, 20\,\% un baccalauréat technologique et les autres un baccalauréat professionnel;
\item[$\bullet~~$]91,5\,\% des candidats au baccalauréat général ont été reçus ainsi que 90,6\,\% des candidats au baccalauréat technologique.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\begin{flushright}
\emph{Source: DEPP (juillet 2015)}\end{flushright}
On choisit au hasard un candidat au baccalauréat de la session 2015 et on considère les évènements suivants :\index{probabilités}
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$G$ : \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat général \fg ;
\item[$\bullet~~$]$T$: \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat technologique\fg ;
\item[$\bullet~~$]$S$: \og Le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel\fg ;
\item[$\bullet~~$]$R$: \og Le candidat a été reçu \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
Pour tout évènement $A$, on note $P(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire.
De plus, si $B$ est un autre évènement, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Préciser les probabilités $P(G), P(T), P_T(R)$ et $P_G(R)$.
\item Traduire la situation par un arbre pondéré. On indiquera les probabilités trouvées à la question précédente. Cet arbre pourra être complété par la suite.\index{arbre de probabilités}
\item Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat technologique et l'ait obtenu est égale à \np{0,1812}.
\item Le ministère de l'Éducation Nationale a annoncé un taux global de réussite pour cette session de 87,8\,\% pour l'ensemble des candidats présentant l'un des baccalauréats.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la probabilité que le candidat choisi se soit présenté au baccalauréat professionnel et l'ait obtenu est égale à \np{0,24845}.
\item Sachant que le candidat s'est présenté au baccalauréat professionnel, déterminer la probabilité qu'il ait été reçu. On donnera une valeur approchée du résultat au millième.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Toboggan}, points=7, tribe={complémentaire}, type={Exercise}, origin={ES - mai 2016 Liban}, tribe={1}]
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [3~;~13] par :
\[ f(x) = - 2x + 20 - \text{e}^{-2x + 10}.\]
\textbf{Partie A : Étude de la fonction \boldmath $f$ \unboldmath}
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction dérivée $f'$, de la fonction $f$, définie pour tout $x$ de l'intervalle [3~;~13], a pour expression :\index{dérivée}
\[f'(x) = - 2 + 2\text{e}^{-2x+10}\]
\item Résoudre dans l'intervalle [3~;~13] l'inéquation: $-2 + 2e^{-2x + 10}$
\item En déduire les solutions de $f'(x) \geqslant 0$.
\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [3~;~13] et dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $F(x) = x^2 + 20x + 0.5e^{-2x + 10}$ est une primitive de $f(x)$.
\item (Bonus) Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_3^{13} f(x)\:\text{d}x$.\index{intégrale}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B : Application}
\medskip
Une usine fabrique et commercialise des toboggans. Sa capacité mensuelle de production est
comprise entre 300 et \np{1300}. On suppose que toute la production est commercialisée.
Le bénéfice mensuel, exprimé en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ centaines
de toboggans est modélisé sur l'intervalle [3~;~13] par la fonction $f$.
En utilisant la partie A, répondre aux questions suivantes :
\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer le bénéfice réalisé pour la productions et la vente de 10 toboggans.
\item Déterminer le nombre de toboggans que l'usine doit produire pour obtenir un bénéfice maximal et
donner ce bénéfice, arrondi à l'euro.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End: