diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2B_limite_polynome.pdf b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2B_limite_polynome.pdf new file mode 100644 index 0000000..e9e8089 Binary files /dev/null and b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2B_limite_polynome.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2B_limite_polynome.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2B_limite_polynome.tex new file mode 100644 index 0000000..71195fd --- /dev/null +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2B_limite_polynome.tex @@ -0,0 +1,61 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Limites de fonctions - Cours} +\date{avril 2021} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\maketitle + +\setcounter{section}{1} +\section{Limites de polynômes} + +\begin{propriete}[Limites des monômes] + \begin{center} + \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}} + \hline + $\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\ + \hline + $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ \\ + \hline + $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \\ + \hline + \end{tabular} + \end{center} +\end{propriete} + +\paragraph{Exemples} Calculs de limites +\begin{multicols}{2} + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^4 = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -5x^2 = $ + + \columnbreak + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^5 = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -2x^3 = $ +\end{multicols} +\afaire{Calculer les limites} + +\begin{propriete}[Simplification des limites de polynôme] + La limite en $+\infty$ et $-\infty$ d'un polynôme est égale à la limite de son monôme de plus haut degré +\end{propriete} + +\paragraph{Exemple} Calculs des limites +\begin{multicols}{2} + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 - 3x + 1 = $ + + \columnbreak + $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -2x^3 + 10x^2 - 100 = $ +\end{multicols} + + +\end{document} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.ggb b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.ggb new file mode 100644 index 0000000..4a58900 Binary files /dev/null and b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.ggb differ diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.pdf b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.pdf new file mode 100644 index 0000000..d97b6af Binary files /dev/null and b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.tex new file mode 100644 index 0000000..0004772 --- /dev/null +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/2E_limite_polynome.tex @@ -0,0 +1,23 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Limites de fonctions - Cours} +\date{avril 2021} + +\DeclareExerciseCollection{banque} +\xsimsetup{ + step=2, +} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\input{exercises.tex} +\printcollection{banque} +\vfill +\printcollection{banque} +\vfill + +\end{document} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex index c29617d..97c3618 100644 --- a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex @@ -1,129 +1,178 @@ \collectexercises{banque} \begin{exercise}[subtitle={Limites de fonctions}, step={1}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] -\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8] - \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, - ymin=0,ymax=10,ystep=1] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2} - \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$} -\end{tikzpicture} -\hfill -\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1] - \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1, - ymin=-10,ymax=10,ystep=2] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**3} - \tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$} -\end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8] + \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, + ymin=0,ymax=10,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**2} + \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=x^2$} + \end{tikzpicture} + \hfill + \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=1] + \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1, + ymin=-10,ymax=10,ystep=2] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{x**3} + \tkzText[draw,fill = brown!20](1,-2){$f(x)=x^3$} + \end{tikzpicture} -\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8] - \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, - ymin=0,ymax=5,ystep=1] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)} - \tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$} -\end{tikzpicture} -\hfill -\begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5] - \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1, - ymin=-3,ymax=3,ystep=1] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)} - \tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$} -\end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=.8] + \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, + ymin=0,ymax=5,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{exp(x)} + \tkzText[draw,fill = brown!20](2,1){$f(x)=\text{e}^{x}$} + \end{tikzpicture} + \hfill + \begin{tikzpicture}[yscale=1, xscale=1.5] + \tkzInit[xmin=0,xmax=5,xstep=1, + ymin=-3,ymax=3,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{log(x)} + \tkzText[draw,fill = brown!20](2,2){$f(x)=\ln(x)$} + \end{tikzpicture} -\begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1] - \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1, - ymin=-2,ymax=2,ystep=1] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)} - \tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$} -\end{tikzpicture} -\hfill -\begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8] - \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, - ymin=-5,ymax=5,ystep=1] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x} - \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x} - \tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$} -\end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=1] + \tkzInit[xmin=-2,xmax=7,xstep=1, + ymin=-2,ymax=2,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = -2:8, line width=1pt]{1 - exp(-x)} + \tkzText[draw,fill = brown!20](1,1.5){$f(x)=1-e^{-x}$} + \end{tikzpicture} + \hfill + \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8] + \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, + ymin=-5,ymax=5,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x} + \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x} + \tkzText[draw,fill = brown!20](-2,2){$f(x)=\frac{1}{x}$} + \end{tikzpicture} -\begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8] - \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, - ymin=-1,ymax=10,ystep=1] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2} - \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2} - \tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$} -\end{tikzpicture} -\hfill -\begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8] - \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, - ymin=-2,ymax=2,ystep=1] - \tkzGrid - \tkzAxeXY - \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)} - \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$} -\end{tikzpicture} + \begin{tikzpicture}[yscale=0.5, xscale=.8] + \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, + ymin=-1,ymax=10,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x**2} + \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x**2} + \tkzText[draw,fill = brown!20](3,3){$f(x)=\frac{1}{x^2}$} + \end{tikzpicture} + \hfill + \begin{tikzpicture}[yscale=1.5, xscale=.8] + \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1, + ymin=-2,ymax=2,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY + \tkzFct[domain = -5:5, line width=1pt]{cos(x)} + \tkzText[draw,fill = brown!20](3,1){$f(x)=\cos{x}$} + \end{tikzpicture} -À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes + À l'aide des graphiques ci-dessus, déterminer graphiquement les quantités suivantes -\begin{multicols}{3} - \begin{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $ - \end{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $ - \end{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $ - \end{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $ - \end{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $ - \end{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $ - \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $ - \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $ - \end{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $ - \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $ - \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $ - \end{enumerate} - \item - \begin{enumerate} - \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $ - \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $ - \end{enumerate} - \end{enumerate} -\end{multicols} + \begin{multicols}{3} + \begin{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^2 = $ + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^3 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} x^3 = $ + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} e^x = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} e^x = $ + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \ln(x) = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow 0} \ln(x) = $ + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 1-e^{-x} = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 1-e^{-x} = $ + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x} = $ + \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x} = $ + \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x} = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x} = $ + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x^2} = $ + \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ <}} \frac{1}{x^2} = $ + \item $\ds \lim_{\substack{x\rightarrow 0 \\ >}} \frac{1}{x^2} = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^2} = $ + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \cos(x) = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \cos(x) = $ + \end{enumerate} + \end{enumerate} + \end{multicols} \end{exercise} +\begin{exercise}[subtitle={Découverte des limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] + Cet exercice se réaliser avec Géogebra. Son but est de déterminer deux règles pour calculer les limites de polynômes. + \begin{enumerate} + \item Limites de fonctions du type $x^n$ où $n$ est un entier non nul. + \begin{enumerate} + \item Régler les curseurs a, b, c, d, e et f pour obtenir le graphique de la fonction $P(x) = x$. Noter les limites en $-\infty$ et en $+\infty$. + \item Réaliser le même travail pour les fonctions $x^2$, $x^3$, $x^4$ et $x^5$. + \item Conjecturer les limites du tableau suivant: + + \begin{center} + \begin{tabular}{|l|*{2}{c|}} + \hline + $\ds \lim_{x\rightarrow ...} x^n = $ & $n$ paire & $n$ impaire\\ + \hline + $+\infty$ & & \\ + \hline + $-\infty$ & & \\ + \hline + \end{tabular} + \end{center} + \end{enumerate} + \item Simplification des limites des polynôme. + \begin{enumerate} + \item Régler les curseurs pour faire apparaitre la fonction $P(x) = x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ + \item Déplacer les curseurs b, c, d, e et f. Est-ce que ces curseurs ont un impact sur les limites en $+\infty$? en $-\infty$? + \item Proposer une façon de simplifier les calculs de limites. + \item Faire varier le curseur a, quel est son impact sur les limites? + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limtes de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] + Calculer les limites suites + \begin{multicols}{3} + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} 2x^2 + 3x + 1 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -4x^2 + 3x + 1 = $ + + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -4x^2 + 100 x - 4 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 4x^3 - 3x + 100 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -7x^5 + 6x + 0.7 = $ + + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2x^2 - 3x^3 + 19 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -0.1x^11 + x + 1 = $ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-1}{2}x^5 + 3x + 1 = $ + \end{enumerate} + \end{multicols} +\end{exercise} \collectexercisesstop{banque} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst index 647eda9..161967c 100644 --- a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst @@ -2,7 +2,7 @@ Limites de fonctions #################### :date: 2021-04-22 -:modified: 2021-04-22 +:modified: 2021-04-27 :authors: Benjamin Bertrand :tags: Fonctions, Limites :category: TST_sti2d @@ -30,6 +30,16 @@ Bilan: Tableau de variation et limites des fonctions de références Établir les règles de simplifications des limites avec les polynômes. Début du calcul formel de limites. +.. image:: ./2E_limite_polynome.pdf + :height: 200px + :alt: Découverte et calculs des limites de polynômes. + +Cours: + +.. image:: ./2B_limite_polynome.pdf + :height: 200px + :alt: Cours sur les limites de polynômes + Étape 3: Croissances comparés avec l'exponentielle ==================================================