Feat: exercices de calculs d'intégrales

TST_sti2d/04_Integrale_et_Primitives/2E_primitives_integrales.tex

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+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Integrale et Primitives - Cours}
+\date{novembre 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST_sti2d/04_Integrale_et_Primitives/exercises.tex

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         f(x) = x \qquad g(x) = 2 \qquad h(x) = x^2 \qquad i(x) = x^3 \qquad j(x) = x^n \qquad k(x) = \dfrac{1}{x^2} \qquad l(x) = \cos(x)
     \]
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Calculs de primitives }, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
+    \begin{enumerate}
+        \item Calculer les primitives de fonctions suivantes
+            \begin{multicols}{3}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $f(x) = 2x + 1$
+                    \item $g(t) = t^2-2t +2$
+
+                    \item $h(x) = 2x(4x+1)$
+                    \item $i(x) = x + 1 + \frac{1}{x^2}$
+
+                    \item $j(x) = 3x - \cos(x)$
+                    \item $k(x) = x^{10} + \sin(x)$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+        \item  Calculer les primitives de fonctions suivantes en respectant les contraintes
+            \begin{multicols}{2}
+                \begin{enumerate}
+                    \item $f(x) = 2x + 1$ et $F(0) = 5$
+                    \item $g(t) = t^2-2t +2$ et $G(10) = 0$
+                \end{enumerate}
+            \end{multicols}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Calculs d'intégrales}, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
+    Calculer les valeurs suivantes
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $\ds A = \int_1^2 9x^2 - 2x + 2\; dx$
+            \item $\ds B = \int_3^4 5x^3 + 2x^2 + 1\; dx$
+            \item $\ds C = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos(x) \; dx$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+% \begin{exercise}[subtitle={Relation de Chasles}, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
+%     On souhaite calculer plusieurs intégrales de la fonction $f(x) =3x^2 + 4x - 1$
+%     \begin{enumerate}
+%         \item Calculer un primitive de $f$.
+%         \item Représenter graphiquement les quantités suivantes puis les calcules.
+%             \[
+%                 \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad
+%                 \int_{2}^3 f(x) \;dx \qquad
+%             \]
+%         \item Représenter graphiquement la quantité $\ds \int_{1}^3 f(x) \;dx$ et déduire sa valeur à partir de la questions précédente
+%         \item (*) Quelle formule peut-on conjecturer des deux questions précédentes? (si vous êtes pas trompé, cette formule s'appelle la relation de Chasles).
+%     \end{enumerate}
+% \end{exercise}
+
+
+\begin{exercise}[subtitle={Propriétés de l'intégrales}, step={2}, origin={Création}, topics={Integrale et Primitives}, tags={Intégrale, Primitive, physique}]
+    Dans cet exercice, le calcul de plusieurs intégrales devrait vous permettre d'intuiter les propriétés de l'intégrale (du même type de la relation de Chasles dans le premier exercice).
+
+    \noindent
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        Pour cela, on va s'intéresser aux deux fonctions suivantes (représentée ci-contre)
+
+        \[
+            f(x) = 2x - 4 \qquad \qquad g(x) = x^2 - 6x + 11
+        \]
+    \end{minipage}
+    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
+        \begin{tikzpicture}[yscale=0.3, xscale=1.2, domain=-1:6]
+            \tkzInit[xmin=-1,xmax=6,xstep=1, ymin=-4,ymax=7,ystep=1]
+            \tkzGrid
+            \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.2]
+            \tkzFct{2*x-4}
+            \tkzFct{(x-3)*(x-3)+2}
+            %\draw plot[id=g] function {(x-3)*(x-3)+2} node[right] {$g(x)$};
+        \end{tikzpicture}
+    \end{minipage}
+    \begin{enumerate}
+        \item Influence du signe de la fonction
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer les quantités suivantes
+                    \[
+                        \int_{1}^2 f(x) \;dx \qquad \qquad \int_3^4 g(x) \;dx
+                    \]
+                \item Quel est le signe de $f(x)$ sur $\intFF{1}{2}$ puis sur $\intFF{3}{4}$?
+                \item Que peut-on conjecturer sur le lien entre le signe de la fonction et le signe de l'intégrale?
+            \end{enumerate}
+        \item Croissance de l'intégrale Pour les questions qui suivent on définira
+            \[
+                h(x) = f(x) - g(x)
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Démontrer que $h(x) = -(x-3)(x-5)$ puis étudier le signe de $h(x)$.
+                \item Calculer les quantités suivantes
+                    \[
+                        \int_3^5 h(x) \;dx
+                    \]
+                \item En déduire, la comparaison des quantités suivantes
+                    \[
+                        \int_3^5 f(x) \;dx \qquad \qquad  \int_3^5 g(x) \;dx
+                    \]
+                \item Que peut-on conjecturer de la questions (a) et (c)?
+            \end{enumerate}
+        \item Aire entre deux courbes.
+            \begin{enumerate}
+                \item Représenter sur le graphique la quantité
+                    \[
+                        \int_3^5 f(x) \;dx - \int_3^5 g(x) \;dx
+                    \]
+                \item En déduire, une méthode pour calculer l'aire contenue entre 2 courbes.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/04_Integrale_et_Primitives/index.rst

@@ -38,6 +38,10 @@ Cours: Formulaire des primitives
 
 Calculs techniques de primitives puis d'intégrales.
 
+.. image:: ./2E_primitives_integrales.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices sur les calculs de primitives et d'intégrales
+
 Étape 3: Problèmes avec des intégrales
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