Feat: ajout démo dérivé produit

TST_sti2d/01_Derivation/exercises.tex

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             \item $g(x) = 0.1x^5 + 2x^4 + x$
             \item $h(x) = 5x^8 + 4x^4 + \frac{1}{x}$
 
-            \item $f(x) = (2x + 1) + (4x^2 - 1)$
-            \item $f(x) = -3x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 10$
-            \item $f(x) = 5x + \frac{3x^2}{2}$
+            \item $i(x) = (2x + 1) + (4x^2 - 1)$
+            \item $j(x) = -3x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 10$
+            \item $k(x) = 5x + \frac{3x^2}{2}$
 
-            \item $f(x) = (2x + 1)(4x^2 - 1)$
-            \item $f(x) = x^2(x-1)$
-            \item $f(x) = 5x(x^4 + x)$
+            \item $l(x) = (2x + 1)(4x^2 - 1)$
+            \item $m(x) = x^2(x-1)$
+            \item $n(x) = 5x(x^4 + x)$
         \end{enumerate}
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Démonstrations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Démonstration}]
+    Dans cet exercice, nous allons démontrer quelques formules de dérivations (toutes les autres formules se démontrent de la même manière, les calculs sont juste un peu plus long).
+    \begin{enumerate}
+        \item Formule de dérivation de $f(x) = 1$.
+
+            On veut connaître la dérivée de $f(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
+                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $f'(x) = \dfrac{df}{dx}$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item Formule de dérivation de $g(x) = 2x$.
+
+            On veut connaître la dérivée de $g(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$.
+                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $g'(x) = \dfrac{dg}{dx}$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item De la même façon que dans les deux questions précédentes, démontrer que la dérivée de $h(x) = x^2$ est 
+
+            $h'(x) = \dfrac{dh}{dx} = 2x$.
+        \item Démonstration de formule dérivation d'un produit: $f(x) = u(x)\times v(x)$ se dérive en $f'(x) = u'(x)\times v(x) + u(x)\times v'(x)$.
+
+            Comme précédement, on pose $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Exprimer en fonction de $u$ et $v$ la quantité $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$
+                \item Simplifier l'expression $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\times v(x+h) + u(x) \times \dfrac{\Delta v}{\Delta x}$.
+                \item En déduire la formule de dérivation du produit.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Cercle et rayon}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
     On travaille avec un cercle de rayon $R$. On définit les deux formules suivantes
     \[
         \mbox{Périmètre: } P(R) = 2\pi R \qquad \qquad \qquad
-        \mbox{Aire } A(R) = \pi R^2
+        \mbox{Aire: } A(R) = \pi R^2
     \]
     \begin{enumerate}
         \item Calculer $\dfrac{dP}{dR}$.
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     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Démonstrations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Démonstration}]
-    Dans cet exercice, nous allons démontrer quelques formules de dérivations (toutes les autres formules se démontrent de la même manière, les calculs sont juste un peu plus long).
-    \begin{enumerate}
-        \item Formule de dérivation de $f(x) = 1$.
-
-            On veut connaître la dérivée de $f(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
-            \begin{enumerate}
-                \item Calculer $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$.
-                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $f'(x) = \dfrac{df}{dx}$.
-            \end{enumerate}
-
-        \item Formule de dérivation de $g(x) = 2x$.
-
-            On veut connaître la dérivée de $g(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
-            \begin{enumerate}
-                \item Calculer $\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$.
-                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $g'(x) = \dfrac{dg}{dx}$.
-            \end{enumerate}
-
-        \item De la même façon que dans les deux questions précédentes, démontrer que la dérivée de $h(x) = x^2$ est 
-
-            $h'(x) = \dfrac{dh}{dx} = 2x$.
-    \end{enumerate}
+\begin{exercise}[subtitle={}, step={3}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Physique}]
 \end{exercise}
 
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/01_Derivation/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Dérivation Tsti2d
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 :date: 2020-08-26
-:modified: 2020-08-26
+:modified: 2020-08-28
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Dérivation, Trigonométrie, Physique
 :category: TST_sti2d
@@ -40,6 +40,12 @@ Cours: Définition taux de variation, fonction dérivée, tangente et parallèle
     :height: 200px
     :alt: Vision mathématique de la dérivation.
 
+Exercices techniques avec la démonstration de quelques formules de dérivation.
+
+.. image:: ./2E_derivation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices pure math sur la dérivation.
+
 Étape 3: Problèmes physiques
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