diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.pdf b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.pdf new file mode 100644 index 0000000..5f74ce6 Binary files /dev/null and b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.tex new file mode 100644 index 0000000..2a735ca --- /dev/null +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/5E_type.tex @@ -0,0 +1,20 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Limites de fonctions - Exercices} +\date{Mai 2021} + +\DeclareExerciseCollection{banque} +\xsimsetup{ + step=5, +} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\input{exercises.tex} +\printcollection{banque} + +\end{document} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex index b84468a..799c0fe 100644 --- a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex @@ -285,4 +285,103 @@ \end{enumerate} \end{enumerate} \end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] + L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence. + + Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. + + La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante: + \[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\] + À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$). + + \begin{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$. + \item Donner $f(0)$. + \item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$. + \end{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. + \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. + \item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice. + \end{enumerate} + \item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre. + \item + \begin{enumerate} + \item Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$. + + Interpréter le résultat dans le contexte. + + \item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={5}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] + \textbf{Partie A} + + \medskip + + On considère la fonction $w$ définie pour tout réel positif $t$ par : + + \[w(t) = 4 \text{e}^{-200t} + 146.\] + + On note $C$ la courbe représentative de la fonction $w$ dans un repère orthonormé. + + \medskip + + \begin{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item Calculer $w(0)$. + \item Déterminer la limite de la fonction $w$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ et interpréter graphiquement cette limite. + \end{enumerate} + \item On note $w'$ la fonction dérivée de la fonction $w$ sur l'intervalle + $[0~;~+ \infty[$. + \begin{enumerate} + \item Pour tout réel positif $t$, calculer $w'(t)$. + \item Étudier le signe de $w'$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. + \item Dresser le tableau de variation de la fonction $w$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. + \item Déterminer une équation de la tangente à la courbe $C$ au point d'abscisse 0 . + \end{enumerate} + \end{enumerate} + + \bigskip + + \textbf{Partie B} + + \medskip + + On étudie l'évolution de la vitesse d'un moteur dont la vitesse de rotation à vide est de + $150$~rad.s$^{-1}$. + + On s'intéresse à une phase particulière appelée phase d'embrayage. + + Durant cette phase, la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ : + + \[\dfrac{1}{200}y' + y = 146\] + + où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle $t$ positive et exprimée en seconde. + + \medskip + + \begin{enumerate} + \item + \begin{enumerate} + \item Résoudre cette équation différentielle. + \item Vérifier que la fonction $w$ étudiée dans la \textbf{partie A} est la fonction solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant la condition initiale $w(0) = 150$. + \end{enumerate} + \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la limite de $w(t)$ lorsque $t$ tend vers $+ \infty$ ainsi que le sens de variation de la fonction $w$, déterminés dans la \textbf{partie A}. + \item On considère que la vitesse de rotation du moteur, exprimée en rad.s$^{-1}$, est stabilisée + + lorsque la quantité $\dfrac{w(t)-146}{146}$ est inférieure à $0,01$. + + Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur + exacte puis la valeur arrondie au millième de seconde. + \end{enumerate} +\end{exercise} + \collectexercisesstop{banque}