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Feat: Cours et exercices sur l'approximation avec la méthode des
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rectangles
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Bertrand Benjamin 2020-09-13 19:14:28 +02:00
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82
TST_sti2d/01_Aire_sous_la_courbe/3B_approximation.tex Normal file
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@ -0,0 +1,82 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\author{Benjamin Bertrand}
\title{Aire sous la courbe - Cours}
\date{septembre 2020}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\maketitle
\setcounter{section}{3}
\section{Approximation de l'aire sous la courbe}
Dans la pratique, calculer l'aire sous la courbe d'une fonction est une tache difficile. Quand les fonctions sont trop compliquées, on n'a d'autres choix que d'approximer l'aire sous la courbe. Ici on trouve un encadrement de cette quantité.
\bigskip
\begin{tabular}{ccccc}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=6,xmax=13,
ymin=0,ymax=250,ystep=50]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={\textit{Heure}},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={\textit{P}}]
\tkzLabelY
\tkzClip
\tkzFct[thick,color=red,domain=0:24]{1000*exp(-((\x-13)/2)**2/2)/(2*sqrt(2*pi))}
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (1,0) -- (1,0.04) -- (2,0.04) -- (2,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (2,0) -- (2,0.2) -- (3,0.2) -- (3,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (3,0) -- (3,0.5) -- (4,0.5) -- (4,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (4,0) -- (4,1.3) -- (5,1.3) -- (5,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (5,0) -- (5,2.4) -- (6,2.4) -- (6,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (6,0) -- (6,3.5) -- (7,3.5) -- (7,0) --cycle;
\end{tikzpicture}
&&
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=6,xmax=13,
ymin=0,ymax=250,ystep=50]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={\textit{Heure}},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={\textit{P}}]
\tkzLabelY
\tkzClip
\tkzFct[thick,color=red,domain=0:24]{1000*exp(-((\x-13)/2)**2/2)/(2*sqrt(2*pi))}
\tkzDrawArea[pattern=north west lines,domain =6:13]
\end{tikzpicture}
&&
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=6,xmax=13,
ymin=0,ymax=250,ystep=50]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={\textit{Heure}},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={\textit{P}}]
\tkzLabelY
\tkzClip
\tkzFct[thick,color=red,domain=0:24]{1000*exp(-((\x-13)/2)**2/2)/(2*sqrt(2*pi))}
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (0,0) -- (0,0.04) -- (1,0.04) -- (1,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (1,0) -- (1,0.2) -- (2,0.2) -- (2,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (2,0) -- (2,0.5) -- (3,0.5) -- (3,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (3,0) -- (3,1.3) -- (4,1.3) -- (4,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (4,0) -- (4,2.4) -- (5,2.4) -- (5,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (5,0) -- (5,3.5) -- (6,3.5) -- (6,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (6,0) -- (6,4) -- (7,4) -- (7,0) --cycle;
\end{tikzpicture}
\\
$400$ & < & $\displaystyle \int_6^{13} f(x)dx$ & < & $600$
\end{tabular}
\bigskip
Les valeurs obtenues ont été trouvée en sommant les aires des rectangles.
\bigskip
Pour obtenir, une approximation plus précise, on peut diminuer la largeur des rectangles. C'est de cette façon, que l'on définir proprement l'intégrale que l'on nomme \textbf{intégrale de Riemman} (ce terme n'est pas au programme).
\end{document}

BIN
TST_sti2d/01_Aire_sous_la_courbe/3E_approximation.pdf Normal file
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73
TST_sti2d/01_Aire_sous_la_courbe/exercises.tex
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@ -157,20 +157,75 @@
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Parc de batterie et approximation}, step={3}, origin={Création}, topics={Aire sous la courbe}, tags={Intégrale, Analyse}]
Ci-dessous, un profil plus réaliste de l'énergie produite par un panneau solaire.
Ci-dessous, un profil plus réaliste de l'énergie produite par un panneau solaire. On souhaite estimer l'énergie captée par ce panneau sur la journée.
\begin{tikzpicture}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=0,xmax=24,
ymin=0,ymax=10,ystep=1]
ymin=0,ymax=250,ystep=50]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzDrawX[label={\textit{Heure}},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={\textit{Puissance (en W)}}]
\tkzLabelY
\tkzClip
\tkzFct[thick,color=red,domain=0:24]{exp(-0.5*((x-14)/2)**2)/(2*sqrt(2*pi))}
\tkzText(3,-0.3){\textbf{Courbe de} $\mathbf{f}$}
\tkzDefPointByFct(3)
\tkzText[above right,text=red](tkzPointResult){${\mathcal{C}}_f$}
\tkzText(20,220){Production en hivers}
\tkzFct[thick,color=red,domain=0:24]{1000*exp(-((\x-13)/2)**2/2)/(2*sqrt(2*pi))}
\end{tikzpicture}
\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement grossier de l'aire sous la courbe en comptant les carreaux.
\item On souhaite affiner cette méthode. Pour cela, on propose uniquement sur la moitié de la journée.
\begin{multicols}{2}
Estimation haute: on garde uniquement la puissance du début de l'heure.
\begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=6,xmax=13,
ymin=0,ymax=250,ystep=50]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={\textit{Heure}},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={\textit{P}}]
\tkzLabelY
\tkzClip
\tkzFct[thick,color=red,domain=0:24]{1000*exp(-((\x-13)/2)**2/2)/(2*sqrt(2*pi))}
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (1,0) -- (1,0.04) -- (2,0.04) -- (2,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (2,0) -- (2,0.2) -- (3,0.2) -- (3,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (3,0) -- (3,0.5) -- (4,0.5) -- (4,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (4,0) -- (4,1.3) -- (5,1.3) -- (5,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (5,0) -- (5,2.4) -- (6,2.4) -- (6,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (6,0) -- (6,3.5) -- (7,3.5) -- (7,0) --cycle;
\end{tikzpicture}
Estimation basse on garde uniquement la puissance de la fin de l'heure.
\begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
\tkzInit[xmin=6,xmax=13,
ymin=0,ymax=250,ystep=50]
\tkzGrid
\tkzDrawX[label={\textit{Heure}},below= -18pt]
\tkzLabelX
\tkzDrawY[label={\textit{P}}]
\tkzLabelY
\tkzClip
\tkzFct[thick,color=red,domain=0:24]{1000*exp(-((\x-13)/2)**2/2)/(2*sqrt(2*pi))}
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (0,0) -- (0,0.04) -- (1,0.04) -- (1,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (1,0) -- (1,0.2) -- (2,0.2) -- (2,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (2,0) -- (2,0.5) -- (3,0.5) -- (3,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (3,0) -- (3,1.3) -- (4,1.3) -- (4,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (4,0) -- (4,2.4) -- (5,2.4) -- (5,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (5,0) -- (5,3.5) -- (6,3.5) -- (6,0) --cycle;
\draw[thick, fill=green, opacity=0.3] (6,0) -- (6,4) -- (7,4) -- (7,0) --cycle;
\end{tikzpicture}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item Calculer l'énergie captée avec l'estimation basse.
\item Calculer l'énergie captée avec l'estimation haute.
\item Donner un encadrement de l'énergie captée.
\item Proposer une méthode pour affiner les résultats.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}

10
TST_sti2d/01_Aire_sous_la_courbe/index.rst
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@ -2,7 +2,7 @@ Aire sous la courbe
###################
:date: 2020-09-03
:modified: 2020-09-03
:modified: 2020-09-13
:authors: Benjamin Bertrand
:tags: Intégrale, Analyse
:category: TST_sti2d
@ -44,4 +44,12 @@ Cours: les formules trouvées.
Dans cette étape, on reprend la situation initiale avec la puissance. Mais cette fois ci, les courbes sont plus réalistes. Les élèves vont devoir donc aller chercher à approximer l'aire sous la courbe avec des formes plus simples.
.. image:: ./3E_approximation.pdf
:height: 200px
:alt: Approximation par la méthode des rectangles.
Cours: la méthode d'approximation par les rectangles.
.. image:: ./3B_approximation.pdf
:height: 200px
:alt: Cours sur l'approximation par la méthode des rectangles.