Feat: 4e étape sur les équations différentielles

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/4E_mise_situation.tex

@@ -0,0 +1,19 @@
+\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation differentielle - Cours}
+\date{février 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=4,
+}
+
+\begin{document}
+\setcounter{exercise}{4}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/exercises.tex

@@ -80,4 +80,64 @@
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations différentielles}, step={4}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    On veut étudier la chute d'un objet dû à l'attraction terrestre. On lâché l'objet à $t=0$ avec une vitesse nulle.
+    \begin{enumerate}
+        \item On suppose que que l'objet ne subit pas de frottement. Il est donc uniquement soumis à l'attraction terrestre et donc le bilan des forces donne l'équation différentielle suivante
+            \[
+                \frac{dv}{dt} = 9,81
+            \]
+            où $v(t)$ est la vitesse en fonction du temps.
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer l'expression de la vitesse en fonction du temps.
+                \item Tracer l'allure de la courbe représentative de la vitesse. Que peut-on dire de la vitesse quand le temps devient très grand?
+            \end{enumerate}
+        \item On ajoute une force de résistance dû aux frottements avec l'aire. Le bilan des force donne l'équation différentielle suivante
+            \[
+                \frac{dv}{dt} = -0.5v(t) + 9,81
+            \]
+            \begin{enumerate}
+                \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle.
+                \item En prenant en compte, les conditions initiales, déterminer la solution unique de l'équation.
+                \item Tracer l'allure de la courbe représentative de la vitesse. Que peut-on dire de la vitesse quand le temps devient très grand?
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations différentielles}, step={4}, origin={Annale}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
+
+    Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 
+
+    La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$ du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:
+
+    \[(E)~:~y'+0,12y=0,003.\]
+
+    À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).
+
+    \begin{enumerate}
+        \item 
+            \begin{enumerate}
+                \item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
+                \item Donner $f(0)$.
+                \item Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+0,025$.
+            \end{enumerate}
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
+                \item Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
+            \end{enumerate}
+        \item Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenirune concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
+        \item
+            \begin{enumerate}
+                \item Par une lecture graphique, déterminer $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
+
+                    Interpréter le résultat dans le contexte.
+
+                \item Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@
 #######################
 
 :date: 2021-02-07
-:modified: 2021-02-10
+:modified: 2021-02-11
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Analyse, Exponentiel, Dérivation
 :category: TST_sti2d
@@ -60,4 +60,8 @@ Bilan: trouver une solution particulière
 
 Exercices techniques de résolution. Puis problèmes de mise en situation (bilan des forces - chute libre avec frottement ...).
 
+.. image:: ./4E_mise_situation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Problèmes utilisant les équations différentielles
+
 Bilan: vidéo de correction par un élève?