diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/3B_limite_frac_rationnelle.pdf b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/3B_limite_frac_rationnelle.pdf new file mode 100644 index 0000000..e2fbe63 Binary files /dev/null and b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/3B_limite_frac_rationnelle.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/3B_limite_frac_rationnelle.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/3B_limite_frac_rationnelle.tex new file mode 100644 index 0000000..b5d5f86 --- /dev/null +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/3B_limite_frac_rationnelle.tex @@ -0,0 +1,76 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Limites de fonctions - Cours} +\date{Mai 2021} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\maketitle + +\setcounter{section}{2} +\section{Limites des fractions rationnelles en $+\infty$ et $-\infty$} + +\begin{propriete}[Limites des fractions rationnelles] + \begin{minipage}{0.5\textwidth} + Soit $n$ un nombre entier positif alors + + \[ + \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = 0 + \] + \end{minipage} + \begin{minipage}{0.5\textwidth} + \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8] + \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1, + ymin=-5,ymax=5,ystep=1] + \tkzGrid + \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5] + \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x} + \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x} + \tkzText[draw,fill = brown!20](3,4){$f(x)=\frac{1}{x}$} + + \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)} + \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)} + \tkzText[draw,fill = red!20](-3,4){$f(x)=\frac{1}{x^2}$} + + \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)} + \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)} + \tkzText[draw,fill = green!20](-3,-4){$f(x)=\frac{1}{x^3}$} + \end{tikzpicture} + \end{minipage} + +\end{propriete} + +\paragraph{Exemples} Calculs de limites +\begin{multicols}{2} + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^2} = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{1}{x^5} = $ + + + \columnbreak + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-2}{x^2} = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -3\dfrac{1}{x^5} = $ + + +\end{multicols} +\afaire{Calculer les limites} + +\begin{propriete}[Simplification des limites de fractions rationnelles] + Pour calculer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ d'une fraction rationnelles, on peut conserver uniquement les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur puis simplifier. +\end{propriete} + +\paragraph{Exemple} Calculs des limites +\begin{multicols}{2} + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2 + 2x + 1}{x + 1} = $ + + \columnbreak + $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-2x^3 + 10x^2 - 100}{x^4 + x^2} = $ +\end{multicols} + + +\end{document} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4B_compa_exp.pdf b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4B_compa_exp.pdf new file mode 100644 index 0000000..a968871 Binary files /dev/null and b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4B_compa_exp.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4B_compa_exp.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4B_compa_exp.tex new file mode 100644 index 0000000..07afd50 --- /dev/null +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4B_compa_exp.tex @@ -0,0 +1,43 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Limites de fonctions - Cours} +\date{Mai 2021} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\maketitle + +\setcounter{section}{3} +\section{Limites comparés entre polynômes et exponentielle} + +\begin{propriete} + Soit $n$ un entier naturel alors + \[ + \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty + \] + \[ + \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x\rightarrow +\infty} x^n e^{-x} = 0 + \] + +\end{propriete} + +\paragraph{Exemples} Calculs de limites +\begin{multicols}{2} + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^2} = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^4 e^{-x} = $ + + + \columnbreak + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{x^3 + 3x +1} = $ + + $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (x^5 + 2x^4)e^{-x} = $ + +\end{multicols} + + +\end{document} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4E_compa_exp.pdf b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4E_compa_exp.pdf new file mode 100644 index 0000000..63bd1fa Binary files /dev/null and b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4E_compa_exp.pdf differ diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4E_compa_exp.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4E_compa_exp.tex new file mode 100644 index 0000000..614c5d7 --- /dev/null +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/4E_compa_exp.tex @@ -0,0 +1,20 @@ +\documentclass[a4paper,10pt]{article} +\usepackage{myXsim} + +\author{Benjamin Bertrand} +\title{Limites de fonctions - Exercices} +\date{Mai 2021} + +\DeclareExerciseCollection{banque} +\xsimsetup{ + step=4, +} + +\pagestyle{empty} + +\begin{document} + +\input{exercises.tex} +\printcollection{banque} + +\end{document} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex index 97c3618..b84468a 100644 --- a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/exercises.tex @@ -157,7 +157,7 @@ \end{enumerate} \end{exercise} -\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limtes de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] +\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites de polynômes}, step={2}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] Calculer les limites suites \begin{multicols}{3} \begin{enumerate} @@ -175,4 +175,114 @@ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Calculs de limites avec polynômes et exponentielle}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] + Calculer les limites suivantes + \begin{multicols}{3} + \begin{enumerate} + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 3e^x$ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} -5e^x$ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} 2e^x + x + 1$ + + \columnbreak + + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} x^2 e^x$ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (-3x + 1)e^x$ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} (x^5 + 3x^2 + 5x) e^x$ + + \columnbreak + + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{2x}{e^x}$ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{5x^2 + 4x + 1}{e^x}$ + \item $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{-2x}{e^x} + 1$ + \end{enumerate} + \end{multicols} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Taux de $CO_2$}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] + On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle + + \[ y' + 0, 01y = 4,5\] + + \begin{enumerate} + \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$. + \item Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$. + \item Déterminer la limite de $V(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. + \end{enumerate} +\end{exercise} + +\begin{exercise}[subtitle={Batteries}, step={4}, origin={Création}, topics={Limites de fonctions}, tags={Fonctions, limites}] + Dans cet exercice, on s'intéresse aux batteries des voitures électriques. La charge (énergie restituable) est exprimée en kilowattheure. + + Conformément à l'usage commercial, on appelle capacité la charge complète d'une batterie. + + On dispose des renseignements suivants : + + \framebox{% + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \textbf{Document 1:\\ Caractéristiques des bornes de recharge} + + {\small + \begin{tabular}{|*{3}{p{1.3cm}|}} + \hline + Recharge & Tension (V) & Intensité (A)\\ + \hline + Normal & 230 & 16 \\ + \hline + Semi-rapide & 400 & 16\\ + \hline + Rapide & 400 & 63\\ + \hline + \end{tabular} + } + \end{minipage}} + \hfill + \framebox{% + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \textbf{Document 2: \\ + Exemple de capacités de batterie} + + {\small + \begin{itemize} + \item Marque A: 22kWh + \item Marque B: 24kWh + \item Marque C: 33kWh + \item Marque D: 60kWh + \end{itemize} + } + \end{minipage}} + \hfill + \framebox{% + \begin{minipage}{0.3\linewidth} + \textbf{Document 3: \\Bon à savoir pour une batterie vide} + + {\small + Après 50\% de temps de charge complète, la batterie est à environ 80\% de sa capacité de charge + } + \end{minipage}} + + + \begin{enumerate} + \item La puissance de charge P d'une borne de recharge, exprimée en Watt (W), s'obtient en multipliant sa tension U, exprimée en Volt (V), par son intensité I, exprimée en Ampère (A). + + Dans la pratique, on considère que le temps T de charge complète d'une batterie vide, exprimé en heure (h), s'obtient en divisant la capacité C de la batterie, exprimée usuellement en kilowattheure (kWh), par la puissance de charge P de la borne de recharge exprimée en kilowatt (kW). + + On considère une batterie de la marque D. + + Déterminer le temps de charge complète de cette batterie sur une borne de recharge \og Rapide \fg. Exprimer le résultat en heures et minutes. + + \item Lors du branchement d'une batterie vide de marque A sur une borne de recharge de type \og Normal \fg, la charge (en kWh) en fonction du temps (en heure) est modélisée par une fonction $f$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ solution de l'équation différentielle: + + \[ + y' + 0,55y = 12,1 + \] + + \begin{enumerate} + \item Résoudre l'équation différentielle sur $\intOF{0}{+\infty}$ + \item Justifier que $f(0)=0$. + \item Montrer que la fonction $f$ est définie par $f(x) = -22e^{-0,55t} + 22$ + \item Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Interpréter le résultat dans le cadre de cet exercice. + \end{enumerate} + \end{enumerate} +\end{exercise} \collectexercisesstop{banque} diff --git a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst index c87dbf3..1a6f989 100644 --- a/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst +++ b/TST_sti2d/09_Limites_de_fonctions/index.rst @@ -2,7 +2,7 @@ Limites de fonctions #################### :date: 2021-04-22 -:modified: 2021-05-03 +:modified: 2021-05-04 :authors: Benjamin Bertrand :tags: Fonctions, Limites :category: TST_sti2d @@ -42,7 +42,29 @@ Cours: :height: 200px :alt: Cours sur les limites de polynômes -Étape 3: Croissances comparés avec l'exponentielle +Étape 3: limite des fractions rationnelles +========================================== + +Exercices techniques de résolution (écrit en live au tableau) + +Cours: + +.. image:: ./3B_limite_frac_rationnelle.pdf + :height: 200px + :alt: limite des fractions rationnelles + + +Étape 4: Croissances comparés avec l'exponentielle ================================================== +Exercices techniques de résolution puis exercices type bac qui reprend un peu tout. +.. image:: ./4B_compa_exp.pdf + :height: 200px + :alt: Exercices avec des annales + +Cours: + +.. image:: ./4B_compa_exp.pdf + :height: 200px + :alt: limites comparées entre polynômes et exponentielle