lafrite/2020-2021
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TST/05_Etude_Polynomes/2E_racine_factoriser.pdf
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25
TST/05_Etude_Polynomes/2E_racine_factoriser.tex
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@ -1,25 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Polynômes - Racine Factoriser}
\tribe{TST}
\date{Novembre 2020}
\pagestyle{empty}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
step=2,
}
\begin{document}
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

BIN
TST/05_Etude_Polynomes/3E_typeEC.pdf
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25
TST/05_Etude_Polynomes/3E_typeEC.tex
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@ -1,25 +0,0 @@
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}
\title{Polynômes - Racine Factoriser}
\tribe{TST}
\date{Novembre 2020}
\pagestyle{empty}
\DeclareExerciseCollection{banque}
\xsimsetup{
step=3,
}
\begin{document}
\input{exercises.tex}
\printcollection{banque}
\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

172
TST/05_Etude_Polynomes/exercises.tex
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@ -1,5 +1,5 @@
\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
\begin{exercise}[subtitle={Étude de signe d'un polynôme factorisé}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
Tracer le tableau de signe des polynômes suivants
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
@ -18,7 +18,7 @@
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
\[
f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
@ -30,7 +30,7 @@
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Création}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
\begin{exercise}[subtitle={Étude des variations d'un polynôme de degré 3 pas à pas}, step={1}, origin={Créatoin}, topics={Etude Polynomes}, tags={analyse, fonctions, tableau de variations, dérivation}]
On cherche à étudier les variations de la fonction suivante
\[
f(x) = x^3 + 1,5x^2 - 6x +1
@ -89,170 +89,4 @@
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Développer}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
Identifier les racines des polynômes suivants puis les développer.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
\item $f(x) = (x+4)(x-2)$
\item $g(x) = (x-3)(x-8)$
\item $h(x) = 2(x-4)(x-8)$
\item $i(x) = -3(x-1)(x-6)$
\item $j(x) = 10(x-2)(x-5)$
\item $k(x) = 0.5(x+1)(x+9)$
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Racines}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
Les phrases suivantes sont-elles justes ou fausses? Justifier
\begin{enumerate}
\item La valeur $x=-1$ est une racine du polynôme $f(x) = 3x^2-2x-3$.
\item La valeur $x=3$ est une racine du polynôme $g(x) = 5(x-3)(x+1)$.
\item La valeur $x=4$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
\item La valeur $x=-3$ est une racine du polynôme $h(x) = 2x^2-2x-24$.
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $i(x) = x^2+8x-20$.
\item Les valeurs $x=-10$ et $x=2$ sont deux racines du polynôme $j(x) = (x+10)(x-2)$.
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Racines et factorisation}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
\begin{enumerate}
\item Soient 2 fonctions polynômes du 2nd degré
\[
f(x) = 5x^2 - 26x + 5 \qquad g(x) = 2(x-5)(x-0.2)
\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $f$
\item Démontrer que $x=5$ et $x=0.2$ sont 2 racines de $g$
\item Est-ce que $f(x)$ et $g(x)$ sont égales?
\end{enumerate}
\item Soit $h$ une fonction polynôme du 2nd degré
\[
h(x) = x^2 + 2x - 15
\]
\begin{enumerate}
\item Tracer la représentation graphique de $f$. Conjecturer (lire sur le graphique) les valeurs des 2 racines.
\item Démontrer que les valeurs trouvées à la questions précédentes sont bien des racines de $h(x)$.
\item Déterminer la forme factorisée de $h(x)$
\item En déduire, sans utiliser le graphique, le tableau de signe de $h(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Factoriser}, step={2}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
Dans cet exercice, on souhaite factoriser des polynômes du 2nd degré.
\begin{enumerate}
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $f(x) = 3x^2 - 9x -30$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que 5 est une racine de $f$.
\item Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui sont des racines de $f$.
\[
-3\qquad -2 \qquad 0 \qquad \qquad 2 \qquad 5
\]
\item Démontrer que $f(x)$ est égal à $3(x+2)(x-5)$.
\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
\end{enumerate}
\item On veut factoriser puis étudier le signe de $g(x) = 0.1x^3 - 0.2x^2 - 0.5x + 0.6$.
\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de $f$ et trouver les racines de $g$
\item Proposer une factorisation de $g$ en se basant sur les racines.
\item Démontrer que cette factorisation est juste par un calcul.
\item Étudier le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Constructeur de Machins}, step={3}, origin={Nathan 2ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
Une entreprise fabrique des \textit{machins}. Chaque jour, elle peut en produire entre 0 et 80 tonnes.
Le coût de fabrication, en euros, de $x$ tonnes est modélisé par la fonction $C(x)$ représentée dans le graphique ci-dessous.
\noindent
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerate}
\item \textbf{Lecture graphique:} Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.
\begin{enumerate}
\item Combien coûte la production de 50tonnes de \textit{machins}.
\item Quelle quantité de \textit{machins} peut-on produire pour une coût de fabrication de \np{100000}\euro?
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des recettes:} Une tonne de \textit{machins} est vendue \np{1900}\euros. La recette pour $x$ tonnes peut donc être modélisée par la fonction $R(x) = 1900x$.
\begin{enumerate}
\item Reproduire la représentation graphique de la fonction $R(x)$.
\item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices en produisant 10tonnes?
\item Déterminer graphiquement les productions où ses bénéfices sont positifs.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{tikzpicture}[baseline=(a.north), xscale=0.5, yscale=0.4]
\tkzInit[xmin=0,xmax=80,xstep=5,
ymin=0,ymax=160000,ystep=10000]
\tkzGrid
\tkzAxeXY
\tkzFct[domain=0:80,color=red,very thick]%
{ \x**3 - 105*\x**2 + 3700*\x + 4000 };
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item \textbf{Étude des bénéfices:} On admet que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction $B(x) = -x^3 + 105x^2 -1800x - 4000$ sur $\intFF{0}{80}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $B'(x)$ la dérivée de $B(x)$.
\item Calculer $B'(10)$ et $B'(60)$
\item En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
\item Étudier le signe de $B'(x)$ et en déduire les variations de $B(x)$.
\item Compléter le tableau de variations de $B(x)$ avec les valeurs au bout des flèches.
\item Quelle quantité doit produire l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal. Que vaut ce bénéfice?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Producteur de carottes}, step={3}, origin={Nathan 1ST 1P119}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
Une entrepise produit et vend des carottes. Elle a la capacité de produire entre 0 et 16 tonnes.
Le coût de production, en euro, de $x$ tonnes est modélisé par la fonnction
\[
C(x) = x^3 - 15x^2 + 78xx -650
\]
Chaque tonne de carottes est vendue 150\euro.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Production de 3 tonnes de carottes}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût de production de 3 tonnes de carottes.
\item Déterminer les revenus de la vente de 3 tonnes.
\item En déduire les bénéfices. L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices?
\end{enumerate}
\item \textbf{Étude des bénéfices}
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'expression des revenus $R(x)$ pour $x$ tonnes de carottes vendues.
\item En déduire que les bénéfices peuvent être modélisés par la fonction
\[ B(x) = -x^3 + 15x^2 + 72x + 650 \]
\item Calculer $B'(x)$
\item Calculer $B'(-2)$ et $B'(12)$. En déduire une forme factorisée de $B'(x)$.
\item Étudier le signe de $B'(x)$ puis en déduire les variations de $B(x)$ pour $x$ variant entre 0 et 16.
\item Quelles quantité de carottes doivent être vendues pour avoir un bénéfice maximal? Quel est alors ce bénéfice?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercise}
\begin{exercise}[subtitle={Volume d'une boite}, step={3}, origin={Création}, topics={Etude de Polynomes}, tags={analyse, fonction}]
\notindent
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\textit{Cet exercice est une tache complexe. C'est à vous d'explorer et de mettre les maths qui vous semblent appropriés pour résoudre le problème}.
\medskip
On dispose d'une feuille cartonnée pour construire des boites sans couvercle.
Où doit-on plier les bords pour avoir une boite la plus grande possible?
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\includegraphics[scale=0.3]{./fig/boite}
\end{minipage}
\end{exercise}
\collectexercisesstop{banque}

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TST/05_Etude_Polynomes/fig/boite.pdf
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310
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TST/05_Etude_Polynomes/index.rst
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@ -27,7 +27,7 @@ Exercices techniques:
Vidéos sur quelques méthodes:
- `Développer au delà du double développement <https://video.opytex.org/videos/watch/7392f2cf-da8f-4159-95de-36ecf4d57f4e>`_
- `développer au delà du double développement <https://video.opytex.org/videos/watch/7392f2cf-da8f-4159-95de-36ecf4d57f4e>`_
- `Étude de signe d'une forme factorisée <https://video.opytex.org/videos/watch/eba8890f-3541-441a-b922-908040ab2119>`_
Étape 2: Factorisation d'un polynôme de degré 2 et 3, racines
@ -41,20 +41,11 @@ Cours:
Exercices techniques:
.. image:: ./2E_racine_factoriser.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices sur l'étude des racines et la factorisation des polynômes.
Étape 3: Étude de signe d'un polynôme de degré 3
================================================
Vidéos sur quelques méthodes:
Factorisation puis étude de signe
- Vérifier qu'une valeur est une racine d'un polynôme
- Factoriser un polynôme
Étape 3: Problèmes utilisant des polynômes
Étape 4: Problèmes utilisant des polynômes
==========================================
.. image:: ./3E_typeEC.pdf
:height: 200px
:alt: Exercices types EC sur les polynômes