Feat: Intégration dans index des exos fiche 3

TST_sti2d/01_Derivation/3E_problemes.tex

@@ -0,0 +1,20 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Dérivation - Cours}
+\date{août 2020}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=3,
+}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST_sti2d/01_Derivation/exercises.tex

@@ -85,22 +85,55 @@
             \item $g(x) = 0.1x^5 + 2x^4 + x$
             \item $h(x) = 5x^8 + 4x^4 + \frac{1}{x}$
 
-            \item $f(x) = (2x + 1) + (4x^2 - 1)$
-            \item $f(x) = -3x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 10$
-            \item $f(x) = 5x + \frac{3x^2}{2}$
+            \item $i(x) = (2x + 1) + (4x^2 - 1)$
+            \item $j(x) = -3x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 10$
+            \item $k(x) = 5x + \frac{3x^2}{2}$
 
-            \item $f(x) = (2x + 1)(4x^2 - 1)$
-            \item $f(x) = x^2(x-1)$
-            \item $f(x) = 5x(x^4 + x)$
+            \item $l(x) = (2x + 1)(4x^2 - 1)$
+            \item $m(x) = x^2(x-1)$
+            \item $n(x) = 5x(x^4 + x)$
         \end{enumerate}
     \end{multicols}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Démonstrations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Démonstration}]
+    Dans cet exercice, nous allons démontrer quelques formules de dérivations (toutes les autres formules se démontrent de la même manière, les calculs sont juste un peu plus long).
+    \begin{enumerate}
+        \item Formule de dérivation de $f(x) = 1$.
+
+            On veut connaître la dérivée de $f(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $\dfrac{\Delta f}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$.
+                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $f'(x) = \dfrac{df}{dx}$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item Formule de dérivation de $g(x) = 2x$.
+
+            On veut connaître la dérivée de $g(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Calculer $\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$.
+                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $g'(x) = \dfrac{dg}{dx}$.
+            \end{enumerate}
+
+        \item De la même façon que dans les deux questions précédentes, démontrer que la dérivée de $h(x) = x^2$ est 
+
+            $h'(x) = \dfrac{dh}{dx} = 2x$.
+        \item Démonstration de formule dérivation d'un produit: $f(x) = u(x)\times v(x)$ se dérive en $f'(x) = u'(x)\times v(x) + u(x)\times v'(x)$.
+
+            Comme précédement, on pose $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
+            \begin{enumerate}
+                \item Exprimer en fonction de $u$ et $v$ la quantité $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$
+                \item Simplifier l'expression $\dfrac{\Delta u}{\Delta x}\times v(x+h) + u(x) \times \dfrac{\Delta v}{\Delta x}$.
+                \item En déduire la formule de dérivation du produit.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
 \begin{exercise}[subtitle={Cercle et rayon}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, technique}]
     On travaille avec un cercle de rayon $R$. On définit les deux formules suivantes
     \[
         \mbox{Périmètre: } P(R) = 2\pi R \qquad \qquad \qquad
-        \mbox{Aire } A(R) = \pi R^2
+        \mbox{Aire: } A(R) = \pi R^2
     \]
     \begin{enumerate}
         \item Calculer $\dfrac{dP}{dR}$.
@@ -119,29 +152,38 @@
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
-\begin{exercise}[subtitle={Démonstrations}, step={2}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Démonstration}]
-    Dans cet exercice, nous allons démontrer quelques formules de dérivations (toutes les autres formules se démontrent de la même manière, les calculs sont juste un peu plus long).
+\begin{exercise}[subtitle={Puissance d'un moteur}, step={3}, origin={Calao 1ST 5p193}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Physique, Puissance}]
+    Une moto accélère de 50 à 80km/h en 8s. On admet que pendant cette période, le moteur fournit une énergie décrite par la fonction $E(t) = 50t + 0,1t^2$ en $kJ$.
+
+    La puissance moyenne développée par un moteur sur un intervalle de temps $\Delta t$ est donnée par $P_m = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$.
     \begin{enumerate}
-        \item Formule de dérivation de $f(x) = 1$.
-
-            On veut connaître la dérivée de $f(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
-            \begin{enumerate}
-                \item Calculer $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$.
-                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $f'(x) = \dfrac{df}{dx}$.
-            \end{enumerate}
-
-        \item Formule de dérivation de $g(x) = 2x$.
-
-            On veut connaître la dérivée de $g(x)$ au point $x$. Pour cela, on définit $x_1 = x$ et $x_2 = x + h$ avec $h$ un nombre que l'on rendra très petit.
-            \begin{enumerate}
-                \item Calculer $\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$.
-                \item En rendant $h$ très petit (proche de 0) déterminer $g'(x) = \dfrac{dg}{dx}$.
-            \end{enumerate}
-
-        \item De la même façon que dans les deux questions précédentes, démontrer que la dérivée de $h(x) = x^2$ est 
-
-            $h'(x) = \dfrac{dh}{dx} = 2x$.
+        \item Calculer la puissance moyenne développée par le moteur entre 0 et 8s. Puis entre 5 et 8s, entre 6 et 8s et entre 7 et 8s.
+        \item Proposer une façon de calculer la puissance instantanée.
+        \item Calculer la puissance instantanée à t = 8s.
     \end{enumerate}
 \end{exercise}
 
+\begin{exercise}[subtitle={Chute de pierre}, step={3}, origin={Delagrave 1ST 72p244}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation, Physique}]
+    On laisse tombé une pierre verticalement au moment $t=0$. Sa hauteur est donnée par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
+    \begin{enumerate}
+        \item À quelle hauteur a-t-on lâché pierre?
+        \item Combien de temps faut-il pour que la pierre touche le sol?
+        \item À quelle vitesse la pierre touche-t-elle le sol?
+        \item Que peut-on dire de l'accélération de la pierre?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Optimisation d'un volume}, step={3}, origin={Création}, topics={Dérivation}, tags={Dérivation}]
+    On souhaite faire des cannettes cylindrique de $33cl=330cm^3$ avec le minimum de métal. On rappelle que le volume d'un cylindre est calculé par $V = \pi r^2 h$
+    \begin{enumerate}
+        \item Exprimer $h$ en fonction de $r$.
+        \item Expliquer pourquoi la surface de métal nécessaire pour faire la canette est de $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$.
+        \item En déduire que $S(r) = 2\pi r + \dfrac{660}{r}$.
+        \item Démontrer que $S'(r) = \dfrac{dS}{dr} = \dfrac{4\pi r^3 - 660}{r^2}$.
+        \item En utilisant la calculatrice ou le calcul déterminer le tableau de signe de $S'$ puis le tableau de variations de $S$.
+        \item En déduire le rayon $r$ pour que $S$ soit minimal. Quel est la hauteur dans ce cas?
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/01_Derivation/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@ Dérivation Tsti2d
 #################
 
 :date: 2020-08-26
-:modified: 2020-08-26
+:modified: 2020-08-28
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Dérivation, Trigonométrie, Physique
 :category: TST_sti2d
@@ -40,6 +40,12 @@ Cours: Définition taux de variation, fonction dérivée, tangente et parallèle
     :height: 200px
     :alt: Vision mathématique de la dérivation.
 
+Exercices techniques avec la démonstration de quelques formules de dérivation.
+
+.. image:: ./2E_derivation.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Exercices pure math sur la dérivation.
+
 Étape 3: Problèmes physiques
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@@ -47,6 +53,10 @@ Temps: 1h30
 
 Des problèmes plus ou moins physiques qui mobilisent la dérivée.
 
+.. image:: ./3E_problemes.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Problèmes utilisant la dérivée
+
 
 Étape 4: Fonctions trigonométriques
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