Feat: 3e étape sur les équations différentielles

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/1E_pos_vitesse_acc.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 \usepackage{myXsim}
 
 \author{Benjamin Bertrand}
-\title{Équation differentielle - Cours}
+\title{Équation différentielle - Cours}
 \date{février 2021}
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}
@@ -17,7 +17,5 @@
 \vfill
 \printcollection{banque}
 \vfill
-\printcollection{banque}
-\vfill
 
 \end{document}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/2B_solutions.tex

@@ -0,0 +1,67 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation differentielle - Cours}
+\date{février 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{1}
+\section{Solutions d'équations différentielles}
+
+\begin{propriete}[équation $y' = a(x)$]
+
+    Soit $a(x)$ une fonction réelle, on note $A(x)$ une primitive de $a(x)$. 
+
+    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a(x)$ sont
+    \[
+        f(x) = A(x) + k \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Les solutions de $y' = 10x + 1$ sont 
+\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
+
+\begin{propriete}[équation $y' = ay$]
+
+    Soit $a$ un nombre réel non nul
+
+    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y$ sont
+    \[
+        f(x) = ke^{ax} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Les solutions de $y' = 10y$ sont 
+\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
+
+\paragraph{Démonstration}%
+
+\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/d4233ed5-4e88-4be1-b470-58df67aefeb5}{Démonstration de la propriété}
+
+
+\begin{propriete}[équation $y' = ay + b$]
+
+    Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls
+
+    Alors les solutions de l'équation différentielle $y' = a y + b$ sont
+    \[
+        f(x) = ke^{ax} - \frac{b}{a} \mbox{ où } k \mbox{ est un nom réel}
+    \]
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Les solutions de $y' = 10y + 5$ sont 
+\afaire{Donner 3 solutions de cette équation différentielle}
+
+\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/b6247c66-e834-46f9-adfa-af30cca4721}{Résoudre une équation du type $y' = ay + b$.}
+
+
+\end{document}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/2E_sol_eq_diff.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
 \usepackage{myXsim}
 
 \author{Benjamin Bertrand}
@@ -7,17 +7,16 @@
 
 \DeclareExerciseCollection{banque}
 \xsimsetup{
-    step=1,
+    step=2,
 }
 
 \begin{document}
+\setcounter{exercise}{1}
 
 \input{exercises.tex}
 \printcollection{banque}
 \vfill
 \printcollection{banque}
 \vfill
-\printcollection{banque}
-\vfill
 
 \end{document}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/3B_solution_unique.tex

@@ -0,0 +1,41 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation differentielle - Cours}
+\date{février 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\setcounter{section}{2}
+\section{Solution unique}
+
+\begin{propriete}[équation $y' = ay$]
+    Soit $a$ un nombre réel non nul et $x_0$ et $y_0$ deux nombres réels.
+
+    Alors L'équation différentielle $y' = a y$ a une unique solution vérifiant $f(x_0) = y_0$
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Résolution de l'équation $y' = 3y$ avec $f(3) = 2$
+\afaire{Résoudre l'équation}
+
+\envideo{https://video.opytex.org/videos/watch/df33c9c5-9009-44d1-adea-21db305442d1}{Vidéo de l'année dernière sur la résolution des équations différentielles $y'=ay$}
+
+\begin{propriete}[équation $y' = ay + b$]
+    Soit $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls et $x_0$ et $y_0$ deux nombres réels.
+
+    Alors L'équation différentielle $y' = a y + b$ a une unique solution vérifiant $f(x_0) = y_0$
+\end{propriete}
+
+\paragraph{Exemples}%
+Résolution de l'équation $y' = 3y$ avec $f(3) = 2$
+\afaire{Résoudre l'équation}
+
+
+
+\end{document}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/3E_famille_solution.tex

@@ -0,0 +1,30 @@
+\documentclass[a4paper, 10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Équation differentielle - Cours}
+\date{février 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=3,
+}
+
+\begin{document}
+\setcounter{exercise}{3}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+
+\end{document}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/exercises.tex

@@ -13,7 +13,10 @@
                 \item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
                 \item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales? 
             \end{enumerate}
-        \item On considère maintenant les frottements dûs à l'air. Ils exercent une force proportionnelle à la vitesse. Le bilan des forces mène à la fonction accélération suivante: $a(t) = v'(t) = kv(t)$. Pour simplifier on considèrera que $k = 1$ et on a donc $a(t) = v'(t) = v(t)$
+        \item On considère, la fonction $m(t)$ qui modélise la masse d'une réactif dans une réaction chimique. Une étude cinétique de la réaction mène déduire que l'évolution de la masse du réactif (la vitesse de la réaction) est proportionnelle à cette masse du réactif. On traduit cela par la formule $\dfrac{dm}{dt} = -k \times m(t)$. 
+
+            Pour simplifier, on estimera que $k = 1$ et que l'on a donc $\dfrac{dm}{dt} = -m(t)$
+
             \begin{enumerate}
                 \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
                 \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
@@ -23,6 +26,58 @@
 \end{exercise}
 
 \begin{exercise}[subtitle={Vérifications}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
-    Vérifier si les fonctions sont oui ou non solution des équations différentielles.
+    \noindent
+    Expliquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausse.
+    \begin{enumerate}
+        \item $f(x) = 6x^2$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
+        \item $g(x) = 8x^2$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
+        \item $h(x) = 6x^2 + 12$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
+        \item L'équation différentielle $y' = 12x$ a une unique solution.
+
+        \item $f(x) = e^{-2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
+        \item $g(x) = e^{-2x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
+        \item $h(x) = 2e^{-2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
+        \item L'équation différentielle $y' = -2y$ a une unique solution.
+
+        \item $f(x) = e^{10x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = 10y$
+        \item $g(x) = e^{-0.1x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0.1y + 0.1$
+        \item $h(x) = \cos(x)$ est solution de l'équation différentielle $y'' = -y$
+    \end{enumerate}    
 \end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Recherche de solutions}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    Déterminer 3 solutions pour chaque équation différentielle
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $y' = 4x$.
+            \item $y' = 10$.
+
+            \item $y' = x^3 + 3x$.
+            \item $y' = \cos(x)$.
+
+            \item $y' = \frac{1}{x^2}$.
+            \item $y' = e^{2x}$.
+        \end{enumerate}    
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations différentielles}, step={3}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
+    Déterminer l'ensemble de solutions des équations différentielles.
+    \begin{multicols}{3}
+        \begin{enumerate}
+            \item $y' = 3y$
+            \item $y' = -0.2y$
+            \item $\dfrac{df}{dx} = -5f(x)$
+
+            \item $y' = 3y + 10$
+            \item $y' = -0.2y - 5$
+            \item $\dfrac{df}{dx} = -5f(x) + 1$
+
+            \item $4y' = y$
+            \item $y' + 2y = 0$
+            \item $2\dfrac{df}{dx} - 6f(x) = 4$
+        \end{enumerate}
+    \end{multicols}
+\end{exercise}
+
 \collectexercisesstop{banque}

TST_sti2d/07_Equation_differentielle/index.rst

@@ -2,7 +2,7 @@
 #######################
 
 :date: 2021-02-07
-:modified: 2021-02-08
+:modified: 2021-02-10
 :authors: Benjamin Bertrand
 :tags: Analyse, Exponentiel, Dérivation
 :category: TST_sti2d
@@ -30,15 +30,31 @@ Bilan: Définition d'une équation différentielle avec en particulier les diff
 
 Plusieurs fonctions candidates, on vérifie qu'elles sont solutions ou non d'équations différentielles. Puis on donne des équations différentielles uniquement avec la dérivée et on cherche des solutions. On expliquera que c'est une autre façon de retrouver la primitive.
 
+.. image:: ./2E_sol_eq_diff.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Vrai/faux sur les équations différentielles
+
 Bilan: Trois famille d'équations différentielles *y'=a*, *y'=ay* et *y'=ay+b* avec les familles de solutions ou une méthode pour les résoudre.
 
+.. image:: ./2B_solutions.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Famille de solution d'équations différentielles
+
 Étape 3: Famille de solutions
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 Résolution d'équations différentielles sous les 3 formes en mêlant les notations, on cherche les familles de solutions.
 
+.. image:: ./3E_famille_solution.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Chercher des familles de solutions
+
 Bilan: trouver une solution particulière
 
+.. image:: ./3B_solution_unique.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Déterminer une solution unique aux équations
+
 Étape 4: Résolution d'une équation différentielle
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