Feat: 2E sur la loi de probabilités TST

TST/08_Loi_binomiale/1B_definition.tex

@@ -0,0 +1,57 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Loi binomiale - Cours}
+\date{janvier 2021}
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+
+\section{Expérience et loi de Bernoulli}
+
+\begin{definition}
+    
+Une expérience aléatoire qui a deux issues possibles (que l'on nommera \textbf{succès} et \textbf{échec}) est appelé \textbf{épreuve de Bernoulli}.
+
+En associant la valeur 1 à un \textbf{succès} et 0 à un \textbf{échec}. On peut modéliser cette expérience avec un variable aléatoire $X$ qui suit un \textbf{loi de Bernoulli} (notée $X \sim \mathcal{B}(p)$) résumée par le tableau suivant:
+
+\begin{center}
+    \begin{tabular}{|c|*{2}{C{2cm}|}}
+        \hline
+        Valeurs & 1 & 0 \\
+        \hline
+        Probabilité & p & 1-p \\
+        \hline
+    \end{tabular}
+\end{center}
+
+où $p$ est la probabilité d'avoir un succès.
+\end{definition}
+
+
+\subsubsection*{Exemple}
+Un passager qui a 9 chances sur 10 de se présenter à l'embarquement d'un avion.
+
+\afaire{Préciser ce qu'est le succès, l'échec, déterminer la valeur de $p$ et compléter le tableau}
+
+\section{Loi binomiale}
+
+Quand on répète de façon identiques et indépendantes une expérience de Bernoulli, on obtient une loi \textbf{binomiale}.
+
+\begin{definition}
+
+La \textbf{loi Binomiale de paramètre $n$ et $p$} notée $\mathcal{B}(n;p)$ est la loi de probabilité qui modélise la somme de répétitions indépendantes et identiques de $n$ situations modélisées par une loi de Bernoulli de paramètre $p$.
+
+\end{definition}
+
+Ces situations peuvent être représenté par un arbre de probabilité où chaque étage correspond à une répétition.
+
+\subsubsection*{Exemple}
+Dans mon jardin j'ai planté 3 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
+\afaire{Quelle loi suit $X$? Représenter la situation avec un arbre de probabilité}
+
+\end{document}

TST/08_Loi_binomiale/1E_arbres.tex

@@ -0,0 +1,28 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Loi binomiale - Cours}
+\date{janvier 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=1,
+}
+
+\xsimsetup{exercise/end-hook={\\[-1cm]}}
+\geometry{left=10mm,right=10mm, top=5mm, bottom=10mm}
+
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+\vfill
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST/08_Loi_binomiale/2E_loi_binomiale.tex

@@ -0,0 +1,21 @@
+\documentclass[a4paper,10pt]{article}
+\usepackage{myXsim}
+
+\author{Benjamin Bertrand}
+\title{Loi binomiale - Cours}
+\date{janvier 2021}
+
+\DeclareExerciseCollection{banque}
+\xsimsetup{
+    step=2,
+}
+
+
+\pagestyle{empty}
+
+\begin{document}
+
+\input{exercises.tex}
+\printcollection{banque}
+
+\end{document}

TST/08_Loi_binomiale/exercises.tex

@@ -0,0 +1,78 @@
+\collectexercises{banque}
+\begin{exercise}[subtitle={Représentation avec des arbres}, step={1}, origin={Création}, topics={Loi binomiale}, tags={Probabilité, Binomiale, Tableur}]
+    Représenter chacune des situations suivantes par un arbre de probabilité.
+    \begin{enumerate}
+        \item Dans mon jardin j'ai planté 3 fraisiers suffisamment éloignés pour qu'ils ne se gênent pas. D'expérience, ils donnent des fruits dans 90\% des cas. Je m'intéresse au nombre de fraisier qui donneront des fruits.
+        \item Bob mange à la cantine 3 fois par semaine. À chaque fois, il se demande s'il prend un dessert plutôt qu'un fromage ce qu'il fait 2 fois sur 3. On s'intéresse au nombre de fois où il a mangé du dessert en une semaine.
+        \item Dans un sachet, il reste 6 bonbons: 2 à la fraise et 4 au réglisse. J'en choisi 4 au hasard et je les mange. Je m'intéresse au nombre de bonbon à la fraise que j'ai mangé.
+        \item Dans un jeu vidéo, j'ai une chance sur 6 de commencer avec un compagnon de type "Terre". Je lance 4 parties et je m'intéresse au nombre de fois où j'ai commencé avec un compagnon de type "Terre".
+        \item Je joue avec un dé à 6 faces. J'ai le droit à un maximum de 4 lancers. J'arrête de lancer dès que j'ai obtenu un 6. Je compte le nombre de lancer que je fais.
+        \item Un examen comporte 3 épreuves. On a une chance sur 2 d'avoir la moyenne à l'épreuve de français, 20\% de chance d'avoir la moyenne en histoire et 80\% de chance d'avoir la moyenne en math. On s'intéresse au nombre de fois où l'on peut avoir la moyenne.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Création}, step={1}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Proposer une expérience aléatoire qui pourrait être modélisée avec une loi binomiale. Vous détaillerez ensuite les paramètres et justifierez la modélisation.
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Jeux}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Bob joue à un jeu où il estime qu'il a 70\% de chance de gagner une partie. Entre 2 parties, il prend le temps de se reposer pour que la précédente partie n'influence pas la suivante.
+
+    On note $V$ l'évènement "Bob gagne la partie".
+
+    Bob fait 2 parties et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de victoire.
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
+        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne une seule partie.
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Calculer et interpréter les probabilités suivantes
+            \[
+                P(X = 0) \qquad P(X=2)
+            \]
+        \item Dresser le tableau de la loi de probabilités de $X$.
+        \item Calculer l'espérance de $X$.
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Repas}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Bob adore manger des légumes. Chaque jour, il choisit au hasard un fruit dans une panière quotidiennement remplie par ses parents contenant 7 bananes, 5 pommes et 2 kiwi.
+
+    Ses parents veulent essayer de prévoir la consommation en banane de Bob sur 3 jours.
+
+    On note donc $X$ le nombre bananes mangées par Bob sur 3 jours et $B$ l'évènement "Bob mange une banane".
+    \begin{enumerate}
+        \item Faire un arbre qui modélise la situation.
+        \item Déterminer la probabilité que Bob gagne deux bananes.
+        \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
+        \item Calculer les probabilités suivantes
+            \[
+                P(X = 1) \qquad P(X=0) \qquad P(X \leq 2)
+            \]
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+\begin{exercise}[subtitle={Auto-école}, step={2}, origin={Création}, topics={Binomiale et echantillonnage}, tags={Probabilité, Binomiale}]
+    Dans une auto-école, à chaque session 75\% des candidats réussissent à avoir leur code.
+
+    \begin{enumerate}
+        \item On interroge au hasard 4 candidats d'une session pour savoir s'ils ont eu leur code. On note $X$ variable aléatoire qui compte le nombre de réponse positive.
+            \begin{enumerate}
+                \item Avec quelle loi peut-on modéliser la variable aléatoire $X$? Préciser les paramètres.
+                \item Calculer les probabilités suivantes
+                    \[
+                        P(X = 1) \qquad \qquad
+                        P(X = 4) \qquad \qquad
+                        P(X \leq 1)
+                    \]
+                \item Quelle est la probabilité qu'au moins un candidat ait répondu positivement.
+            \end{enumerate}
+        \item Cette fois-ci, on choisit un candidat et on note $Y$ le nombre de sessions qu'il a du passer avant d'avoir code.
+            \begin{enumerate}
+                \item Faire un arbre pour représenter la situation.
+                \item Peut-on modéliser $Y$ avec une loi binomiale? Si oui, préciser les paramètres.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{exercise}
+
+
+\collectexercisesstop{banque}

TST/08_Loi_binomiale/index.rst

@@ -0,0 +1,34 @@
+Loi binomiale
+#############
+
+:date: 2021-01-20
+:modified: 2021-01-20
+:authors: Benjamin Bertrand
+:tags: Probabilité, Binomiale, Tableur
+:category: TST
+:summary: Redécouverte de la loi binomiale
+
+Étape 1: Représentation avec des arbres
+=======================================
+
+Des situations qu'il faut représenter avec des arbres. Toutes les situations ne correspondent pas à la loi binomiale pour ne pas tomber dans la routine. On donne l'exercice aux élèves qui aller chercher dans leurs souvenir pour faire ces arbres. Assez rapidement, on prend un élève qui a réussi pour venir expliquer comment il fait au tableau et débloquer les élèves sans idées.
+
+Une fois que les arbres sont réalisés (on essayera de tous les faire rentrer sur le tableau). On les compare et extrait ceux qui correspondent à un arbre de loi binomiale pour en fait l'anatomie.
+
+Les élèves peuvent ensuite créer leur situation modélisable par une loi binomiale.
+
+.. image:: ./1E_arbres.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: Situations représentable par un arbre mais pas forcement modélisable par la loi binomiale.
+
+Bilan: définition de la loi binomiale et représentation par un arbre.
+
+.. image:: ./1B_definition.pdf
+    :height: 200px
+    :alt: définition de la loi binomiale et représentation par un arbre.
+
+Étape 2: Calculer des probabilités avec des arbres
+==================================================
+
+Étape 3: Simulation avec python
+===============================