\documentclass[a4paper,10pt]{article}
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\author{Benjamin Bertrand}
\title{Dérivation - Cours}
\date{août 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{1}
\section{Dérivée}

Nous allons définir la dérivée en s'inspirant de ce qui a été fait précédement avec la vitesse.

\subsection*{Définitions}

\begin{tabular}{m{0.3\textwidth}*{2}{|m{0.3\textwidth}}}
    Position $x(t)$ & Fonction $f(x)$ & Signification graphique \\
    Vitesse moyenne & Taux de variation & Corde \\
    $v_m(t) = \dfrac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t}$  & $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \dfrac{\Delta f}{\Delta x}$ & 
    \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south), 
        xscale=0.5, yscale=0.5]
        \tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
        ]{0.08*(5-x)*exp(x)};
    \end{tikzpicture}
    \\
    Vitesse instannée & Dérivée & Tangente\\
    $v(t) = \dfrac{dx}{dt}$ & $f'(x) = \dfrac{df}{dx} = \dot f(t)$ & 
    \begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.south), 
        xscale=0.5, yscale=0.5]
        \tkzInit[xmin=-2,xmax=5,xstep=1,
        ymin=0,ymax=5,ystep=1]
        \tkzGrid
        \tkzAxeXY
        \tkzFct[domain=-2:5,color=red,very thick,%
        ]{0.08*(5-x)*exp(x)};
    \end{tikzpicture}

\end{tabular}

\subsection*{Formules de dérivations}

\begin{center}
    \begin{tabular}{|m{4cm}|m{4cm}|}
     \hline
    \rowcolor{highlightbg}
     Fonction $f$ & Fonction dérivée $f'$ \\
     \hline
     $a$ & $0$ \\
     \hline
     $ax$ & $a$ \\
     \hline 
    $ax^2$ & $2ax$ \\
    \hline
    $ax^3$ & $3ax^2$\\
    \hline
    $ax^n$ & $nax^{n-1}$\\
    \hline
    $\frac{1}{x}$ & $\frac{-1}{x^2}$\\
    \hline
    \end{tabular}
\end{center}

\subsection*{Opérations}

Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un nombre réel alors

\begin{itemize}
    \item La dérivée de $f(x) = u(x) + v(x)$ est $f'(x) = u'(x) + v'(x)$.
    \item La dérivée de $f(x) = k \times u(x)$ est $f'(x) = k \times u'(x)$.
    \item La dérivée de $f(x) = u(x) \times v(x)$ est $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.
\end{itemize}

\subsection*{Exemple}
\afaire{Dériver la fonction $f(x) = (2x+1)\times\dfrac{1}{x}$}


\end{document}