\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Limites de fonctions - Cours}
\date{Mai 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{2}
\section{Limites des fractions rationnelles en $+\infty$ et $-\infty$}

\begin{propriete}[Limites des fractions rationnelles]
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
        Soit $n$ un nombre entier positif alors

        \[
            \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = \lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{x^n} = 0
        \]
    \end{minipage}
    \begin{minipage}{0.5\textwidth}
            \begin{tikzpicture}[yscale=.5, xscale=.8]
                \tkzInit[xmin=-4,xmax=4,xstep=1,
                ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY[up space=0.5,right space=.5]
                \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt]{1/x}
                \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt]{1/x}
                \tkzText[draw,fill = brown!20](3,4){$f(x)=\frac{1}{x}$}

                \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)}
                \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=red]{1/(\x**2)}
                \tkzText[draw,fill = red!20](-3,4){$f(x)=\frac{1}{x^2}$}

                \tkzFct[domain = -5:-0.01, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)}
                \tkzFct[domain = 0.01:5, line width=1pt, color=green]{1/(\x**3)}
                \tkzText[draw,fill = green!20](-3,-4){$f(x)=\frac{1}{x^3}$}
            \end{tikzpicture}
    \end{minipage}

\end{propriete}

\paragraph{Exemples} Calculs de limites
\begin{multicols}{2}
    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x^2} =  $

    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \dfrac{1}{x^5} =  $


    \columnbreak
    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{-2}{x^2} =  $

    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} -3\dfrac{1}{x^5} =  $


\end{multicols}
\afaire{Calculer les limites}

\begin{propriete}[Simplification des limites de fractions rationnelles]
    Pour calculer la limite en $+\infty$ et $-\infty$ d'une fraction rationnelles, on peut conserver uniquement les termes de plus haut degré au numérateur et au dénominateur puis simplifier.
\end{propriete}

\paragraph{Exemple} Calculs des limites
\begin{multicols}{2}
    $\ds \lim_{x\rightarrow +\infty} \dfrac{3x^2 + 2x + 1}{x + 1} =  $

    \columnbreak
    $\ds \lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{-2x^3 + 10x^2 - 100}{x^4 + x^2} =  $
\end{multicols}


\end{document}