\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Enseignements Scientifique \hfill DS1 \hfill Correction}
\date{Novembre 2020}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}
    \item Valeurs approximatives lues dans le tableau
        \begin{itemize}
            \item 2015: \np{50000}
            \item 2018: \np{66500}
        \end{itemize}
    \item Type d'évolution: arithmétique car les points semblent alignés.
    \item On compare 2 modèles
        \begin{multicols}{2}
            Modèle géométrique
            \[
                \frac{54987}{50000} \approx 1,099
            \]
            \[
                \frac{60463}{54987} \approx 1,099 \\
            \]
            \[
                \frac{66500}{60463} \approx 1,099 \\
            \]
            \[
                \frac{73161}{66500} \approx 1,1 \\
            \]
            \[
                \frac{80496}{73161} \approx 1,1 \\
            \]

            \columnbreak

            Modèle arithmétique
            \[
                54987 - 50000 = 4987
            \]
            \[
                60463 - 54987 = 5476
            \]
            \[
                66500 - 60463 = 6037
            \]
            \[
                73161 - 66500 = 6661
            \]
            \[
                80496 - 73161 = 7335
            \]
            
        \end{multicols}
        On remarque que le modèle géométrique donne des résultats similaires ce qui n'est pas le cas pour le modèle arithmétique. Le modèle géométrique semble donc plus approprié.
    \item On définit $u_n$ la suite qui modélise la population d'abeilles à partir de 2020 donc $u_n$ est géométrique de premier terme $u_0 = \np{80525}$ et de raison $q = 1,1$.

        \begin{tabular}{ccc}
        2020 & $\rightarrow$ & $u_0 = 80525$ \\
        2021 & $\rightarrow$ & $u_1 = 80525 \times 1,1 = 88577$ \\
        2025 & $\rightarrow$ & $u_5 = 80525 \times 1,1^5 = 129686$ \\
        \end{tabular}

        On peut à fait calculer la population en 2025 en calculant les populations de 2022, 2023 et 2024.

    \item Modèle d'évolution de la population d'abeilles à partir de 2020 si des pesticides sont utilisés à proximité de la ruche.
        \begin{itemize}
            \item "Taux d'accroissement de la population = taux de natalité - taux de mortalité". 

                Le taux de natalité est de 25\%.

                Le taux de mortalité sans pesticides est de 10\% et est multiplié par 2 avec des pesticides. Il est donc de 20\%.
                
                Ainsi le taux d'accroissement est, en pourcentage, de
                \[
                    t = 25 - 20 = 5
                \]
            \item Comme d'une année sur l'autre la population gagne 5\% elle est multipliée par
                \[
                    q = 1 + \frac{5}{100} = 1,05
                \]
            \item On peut donc modéliser la population d'abeilles par une suite $(u_n)$ géométrique de raison $1,05$ et de premier terme $u_0 = 80525$
            \item Calculer des termes suivants

                \begin{tabular}{ccc}
                    2020 & $\rightarrow$ & $u_0 = 80525$ \\
                    2021 & $\rightarrow$ & $u_1 = 80525 \times 1,05 = 84551$ \\
                    2025 & $\rightarrow$ & $u_5 = 80525 \times 1,05^5 = 102772$ \\
                \end{tabular}

            \item La population grandit moins vite.
        \end{itemize}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2}

\begin{enumerate}
    \item \textit{Plusieurs rédactions possibles}
        \begin{itemize}
            \item Population Zigzag en Suisse

                \begin{tabular}{|c|c|c|}
                    \hline
                    & Marquage & Re-capture \\
                    \hline 
                    Marqués & 150 & 16 \\
                    \hline 
                    total & ? & 100 \\
                    \hline
                \end{tabular}
                \[
                    \mbox{Total} = \frac{150\times 100}{16} = 937
                \]
            \item Population Mélanique en Suisse
                \[
                    m_1 = 160 \qquad \qqaud n_2 = 104 \qquad \qquad m_2 = 14
                \]
                Donc
                \[
                    N = \frac{m_1 \times n_2}{m_2}  = \frac{160\times 104}{14} = 1188
                \]

            \item Population Zigzag en Aubrac

                \begin{tabular}{|c|c|c|}
                    \hline
                    & Marquage & Re-capture \\
                    \hline 
                    Marqués & 200 & 20 \\
                    \hline 
                    total & ? & 150 \\
                    \hline
                \end{tabular}
                \[
                    \mbox{Total} = \frac{200\times 150}{20} = 1500
                \]
            \item Population Mélanique en Aubrac
                \[
                    m_1 = 200 \qquad \qqaud n_2 = 125 \qquad \qquad m_2 = 36
                \]
                Donc
                \[
                    N = \frac{m_1 \times n_2}{m_2}  = \frac{200\times 125}{36} = 694
                \]

        \end{itemize}
    \item  Pourcentage relatif de Zigzag en Suisse
        \[
            \frac{937}{937+1188} = 0,44
        \]
        Pourcentage relatif de Zigzag en Aubrac
        \[
            \frac{1500}{1500+694} = 0,68
        \]
\end{enumerate}


\end{document}