\collectexercises{banque}
\begin{exercise}[subtitle={Position - vitesse - accélération}, step={1}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    \begin{enumerate}
        \item On observe un mobile en mouvement et on décrit sa position verticale en fonction du temps $t$ en secondes par la fonction $z(t) = -4,9t^2 + 12$.
            \begin{enumerate}
                \item Déterminer la fonction décrivant la vitesse du module $v(t) = z'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dz}{dt}$).
                \item Déterminer la fonction décrivant l'accélération du module $a(t) = v'(t)$ (ou en notation physique $\dfrac{dv}{dt}$).
                \item À quelle hauteur le mobile a été lâché? Quel était alors sa vitesse? Son accélération?
            \end{enumerate}
        \item On étudie un mobile en chute libre. On le lance à une hauteur de 10m au dessus du sol avec une vitesse de 1m/s. Un bilan des forces permet de connaître son accélération au cours du mouvement: $a(t) = -10$.
            \begin{enumerate}
                \item On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse ($a(t) = v'(t)$). Déterminer la fonction vitesse du mobile.
                \item On rappelle que la vitesse est la dérivée de la position ($v(t) = z(t)$). Déterminer la fonction position du mobile.
                \item Est-ce que les deux fonctions déterminées aux questions précédentes sont conformes aux conditions initiales? 
            \end{enumerate}
        \item On considère, la fonction $m(t)$ qui modélise la masse d'une réactif dans une réaction chimique. Une étude cinétique de la réaction mène déduire que l'évolution de la masse du réactif (la vitesse de la réaction) est proportionnelle à cette masse du réactif. On traduit cela par la formule $\dfrac{dm}{dt} = -k \times m(t)$. 

            Pour simplifier, on estimera que $k = 1$ et que l'on a donc $\dfrac{dm}{dt} = -m(t)$

            \begin{enumerate}
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction constante?
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction polynôme?
                \item Est-ce que $v(t)$ peut-être une fonction exponentielle?
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Vérifications}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    \noindent
    Expliquer si les propositions suivantes sont vraies ou fausse.
    \begin{enumerate}
        \item $f(x) = 6x^2$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
        \item $g(x) = 8x^2$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
        \item $h(x) = 6x^2 + 12$ est solution de l'équation différentielle $y' = 12x$
        \item L'équation différentielle $y' = 12x$ a une unique solution.

        \item $f(x) = e^{-2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
        \item $g(x) = e^{-2x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
        \item $h(x) = 2e^{-2x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = -2y$
        \item L'équation différentielle $y' = -2y$ a une unique solution.

        \item $f(x) = e^{10x}$ est solution de l'équation différentielle $y' = 10y$
        \item $g(x) = e^{-0.1x} + 1$ est solution de l'équation différentielle $y' = 0.1y + 0.1$
        \item $h(x) = \cos(x)$ est solution de l'équation différentielle $y'' = -y$
    \end{enumerate}    
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Recherche de solutions}, step={2}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    Déterminer 3 solutions pour chaque équation différentielle
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $y' = 4x$.
            \item $y' = 10$.

            \item $y' = x^3 + 3x$.
            \item $y' = \cos(x)$.

            \item $y' = \frac{1}{x^2}$.
            \item $y' = e^{2x}$.
        \end{enumerate}    
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{exercise}[subtitle={Résolution d'équations différentielles}, step={3}, origin={Création}, topics={Équation differentielle}, tags={analyse, exponentiel, dérivation}]
    Déterminer l'ensemble de solutions des équations différentielles.
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $y' = 3y$
            \item $y' = -0.2y$
            \item $\dfrac{df}{dx} = -5f(x)$

            \item $y' = 3y + 10$
            \item $y' = -0.2y - 5$
            \item $\dfrac{df}{dx} = -5f(x) + 1$

            \item $4y' = y$
            \item $y' + 2y = 0$
            \item $2\dfrac{df}{dx} - 6f(x) = 4$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\collectexercisesstop{banque}
