\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Probabilités conditionnelles - Cours}
\date{Mars 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Notations}

\subsection*{Les ensembles}

Soit $E$ un ensemble et $A$ et $B$ deux sous ensemble de $E$.

\begin{center}
    \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/ensembles}
\end{center}

\begin{itemize}
    \item \textbf{Complémentaire de $A$} contient tous les éléments qui n'ont pas les caractéristiques de $A$.

        \begin{center}
            \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/Abar}
        \end{center}

    \item \textbf{Intersection de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{ET} de $B$.

        \begin{center}
            \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/inter}
        \end{center}

    \item \textbf{Union de $A$ et $B$} contient tous les éléments qui ont les caractéristiques de $A$ \textbf{OU} de $B$.

        \begin{center}
            \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/union}
        \end{center}
\end{itemize}

\subsection*{Cardinal d'un ensemble}

\begin{definition}{Cardinal}

    Soit $E$ un ensemble. On appelle \textbf{cardinal} (ou effectif) de $E$ le nombre d'éléments de $E$. On note
    \[
        \mbox{Card}(E) = \# E
    \]
    
\end{definition}

\pagebreak

\subsection*{Les probabilités}

\begin{definition}{Probabilités conditionnelles}
    Soit $A$ et $B$ deux ensembles d'un population totale $E$ avec $A$ un ensemble non vide. 

    \begin{itemize}
        \item Probabilités de l'évènement $A$
            \[
                P(A) = \frac{\mbox{Effectif de $A$}}{\mbox{Effectif total}} = \frac{\# A}{\# E}
            \]
        \item Probabilités de l'évènement $B$ sachant $A$
            \[
                P_A(B) = \frac{\mbox{Effectif des éléments qui sont dans $A$ et $B$}}{\mbox{Effectifs des éléments qui sont dans $A$}} = \frac{\#(A\cap B)}{\# A}
            \]
            \begin{center}
                \includegraphics[ scale=0.6 ]{./fig/condi_A}
            \end{cente}
    \end{itemize}
\end{definition}

\paragraph{Exemple}~\\

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    \begin{tabular}{|*{4}{c|}}
        \hline
         & Homme & Femme & Total \\
        \hline
        Employé & 10 & 15 & 25 \\
        \hline
        Vacataire & 14 & 17 & 31 \\
        \hline
        Total & 24 & 32 & 56 \\
        \hline
    \end{tabular}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
    On note
    \[
        A = \left\{ \mbox{Homme} \right\} \qquad 
    \]
    \[
        B = \left\{ \mbox{Employé} \right\} \qquad 
    \]
\end{minipage}

\bigskip
On choisit au hasard une personne de cette entreprise.

\[
    P(A) = 
    \]
Interprétation:
\[
    P_A(B) = 
    \]
Interprétation:
   \bigskip 

\afaire{}



\end{document}
