\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill BOUALIA Bilel}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{1}{4} - \dfrac{10}{4}$
            \item $B = \dfrac{- 5}{6} - \dfrac{- 6}{30}$

            \item $C = \dfrac{- 8}{2} + \dfrac{- 6}{1}$
            \item $D = \dfrac{2}{10} - 10$

            \item $E = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{- 5}{2}$
            \item $F = \dfrac{10}{2} \times - 10$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{4} - \dfrac{10}{4}=\dfrac{1}{4} - \dfrac{10}{4}=\dfrac{1 - 10}{4}=\dfrac{1 - 10}{4}=\dfrac{- 9}{4}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{6} - \dfrac{- 6}{30}=\dfrac{- 5}{6} + \dfrac{6}{30}=\dfrac{- 5 \times 5}{6 \times 5} + \dfrac{6}{30}=\dfrac{- 25}{30} + \dfrac{6}{30}=\dfrac{- 25 + 6}{30}=\dfrac{- 19}{30}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 8}{2} + \dfrac{- 6}{1}=\dfrac{- 8}{2} + \dfrac{- 6 \times 2}{1 \times 2}=\dfrac{- 8}{2} + \dfrac{- 12}{2}=\dfrac{- 8 - 12}{2}=\dfrac{- 20}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{10} - 10=\dfrac{2}{10} + \dfrac{- 10}{1}=\dfrac{2}{10} + \dfrac{- 10 \times 10}{1 \times 10}=\dfrac{2}{10} + \dfrac{- 100}{10}=\dfrac{2 - 100}{10}=\dfrac{- 98}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{3} \times \dfrac{- 5}{2}=\dfrac{1 \times - 5}{3 \times 2}=\dfrac{- 5}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{10}{2} \times - 10=\dfrac{10 \times - 10}{2}=\dfrac{- 100}{2}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (4x - 7)(8x - 7)$
            \item $B = (- 2x + 4)(7x + 4)$

            \item $C = (- 4x - 5)^{2}$
            \item $D = - 3 + x(- 4x - 4)$

            \item $E = 10x^{2} + x(9x - 10)$
            \item $F = 7(x + 8)(x + 9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (4x - 7)(8x - 7)\\&= 4x \times 8x + 4x \times - 7 - 7 \times 8x - 7 \times - 7\\&= 4 \times 8 \times x^{1 + 1} - 7 \times 4 \times x - 7 \times 8 \times x + 49\\&= - 28x - 56x + 32x^{2} + 49\\&= (- 28 - 56) \times x + 32x^{2} + 49\\&= 32x^{2} - 84x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 2x + 4)(7x + 4)\\&= - 2x \times 7x - 2x \times 4 + 4 \times 7x + 4 \times 4\\&= - 2 \times 7 \times x^{1 + 1} + 4 \times - 2 \times x + 4 \times 7 \times x + 16\\&= - 8x + 28x - 14x^{2} + 16\\&= (- 8 + 28) \times x - 14x^{2} + 16\\&= - 14x^{2} + 20x + 16
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 4x - 5)^{2}\\&= (- 4x - 5)(- 4x - 5)\\&= - 4x \times - 4x - 4x \times - 5 - 5 \times - 4x - 5 \times - 5\\&= - 4 \times - 4 \times x^{1 + 1} - 5 \times - 4 \times x - 5 \times - 4 \times x + 25\\&= 20x + 20x + 16x^{2} + 25\\&= (20 + 20) \times x + 16x^{2} + 25\\&= 16x^{2} + 40x + 25
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 3 + x(- 4x - 4)\\&= - 3 + x \times - 4x + x \times - 4\\&= - 4x^{2} - 4x - 3
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 10x^{2} + x(9x - 10)\\&= 10x^{2} + x \times 9x + x \times - 10\\&= 10x^{2} + 9x^{2} - 10x\\&= 10x^{2} + 9x^{2} - 10x\\&= (10 + 9) \times x^{2} - 10x\\&= 19x^{2} - 10x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 7(x + 8)(x + 9)\\&= (7x + 7 \times 8)(x + 9)\\&= (7x + 56)(x + 9)\\&= 7x \times x + 7x \times 9 + 56x + 56 \times 9\\&= 9 \times 7 \times x + 504 + 7x^{2} + 56x\\&= 63x + 504 + 7x^{2} + 56x\\&= 7x^{2} + 63x + 56x + 504\\&= 7x^{2} + (63 + 56) \times x + 504\\&= 7x^{2} + 119x + 504
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 4x^{2} - 20x - 24$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 4 \times 1^{2} - 20 \times 1 - 24=4 \times 1 - 20 - 24=4 - 44=- 40
            \]
            \[ 
                f(-1) = 4 \times - 1^{2} - 20 \times - 1 - 24=4 \times 1 + 20 - 24=4 - 4=0
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
