\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

% Title Page
\title{DS8 \hfill \Var{Nom}}
\tribe{TST}
\date{\hfillÀ render pour le Mercredi 7 avril}

\xsimsetup{
    solution/print = false
}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Automatismes}]
    \textit{Toutes les questions de cette exercice sont indépendantes et peuvent être répondus séparément}
    \begin{enumerate}
        %- set t = randint(10, 30)
        \item De janvier à septembre, une quantité a augmenté de $\Var{t}\,\%$. Faire un schéma pour représenter la situation puis calculer le taux d'évolution moyen mensuel.
        %- set valeur = randint(110, 150)
        \item Une quantité augmente de $\Var{t}\,\%$ par ans. En 2020, elle est de \Var{valeur}\euro. Quelle était sa valeur en 2019? Faire un schéma pour représenter la situation.
        \item Déterminer l'équation de la droite
            %- set b = randint(-4, -1)
            %- set denom = randint(2, 4)
            %- set a = -2*b/denom

            \begin{tikzpicture}[xscale=0.8, yscale=0.5]
                \tkzInit[xmin=-5,xmax=5,xstep=1,
                ymin=-5,ymax=5,ystep=1]
                \tkzGrid
                \tkzAxeXY
                \tkzFct[domain=-5:5,color=red,very thick]%
                {\Var{a}*\x \Var{b}};
            \end{tikzpicture}
        %- set a4 = randint(2, 50)
        %- set b4 = round(random(), 2)
        %- set c4 = randint(2, 10)
        \item Résoudre l'équation $\Var{c4} \times \Var{b4}^x = \Var{a4}$
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On veut partager cette évolution en 8 évolutions.
            %- set cm = round( (1+t/100)**(1/8), 4)
            \[
                \left(1 + \frac{\Var{t}}{100}\right)^{\frac{1}{8}} = \Var{cm}
            \]
            Donc le taux d'évolution moyen est
            \[
                t_m = \Var{cm} - 1 = \Var{cm - 1}
            \]
        \item Coefficient multiplicateur pour revenir en arrière
            %- set cm = round( (1+t/100)**(-1), 4)
            \[
                CM = (1 + \frac{\Var{t}}{100})^{-1} =  \Var{cm}
            \]
            On en déduit la quantité en 2019
            \[
                \Var{valeur} * \Var{cm} = \Var{valeur*cm}
            \]
        \item L'équation de la droite est
            \[
                y = \Var{a} x \Var{b}
            \]
        \item Il faut penser à faire la division à par $\Var{c4}$ avant d'utiliser le log car sinon, on ne peut pas utiliser la formule $\log(a^n) = n\times \log(a)$.

            \[x = \frac{\log(\Var{round(a4/c4, 2)})}{\log(\Var{b4})}\]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Restaurant}]
    %- set p_M = round(random(), 2)
    %- set p_S = round(1-p_M, 2)
    %- set p_M_B = 0.25
    %- set p_M_W = 0.75
    %- set p_S_W = round(random(), 2)
    %- set p_S_B = round(1-p_S_W, 2)
    %- set p_B = round(p_S*p_S_B + p_M*p_M_B, 4)
    Un \emph{food truck}, ouvert le midi et le soir, propose deux types de formules : 

    \setlength\parindent{10mm}
    \begin{itemize}
        \item la formule \emph{Burger} ; 
        \item la formule \emph{Wok}. 
    \end{itemize}
    \setlength\parindent{0mm}

    \medskip 

    Le gérant a remarqué que \Var{int(p_M*100)}\,\% de ses ventes ont lieu le midi. Le quart des ventes du midi correspondent à la formule \emph{Burger}, alors que \Var{int(p_S_W*100)}\,\% des ventes du soir correspondent à la formule \emph{Wok}. 

    Le gérant se constitue un fichier en notant, pour chaque vente, la formule choisie et le moment de cette vente (midi ou soir). 

    On prélève une fiche de façon équiprobable. On définit les quatre évènements suivants: 

    \begin{enumerate}
        \item $M$ : \og la fiche correspond à une vente du midi\fg{} ; 
        \item $S$ : \og la fiche correspond à une vente du soir\fg {}; 
        \item $W$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Wok} \fg{} ; 
        \item $B$ : \og la fiche correspond à une formule \emph{Burger} \fg. 
    \end{enumerate}
    \setlength\parindent{0mm}

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Recopier puis compléter l'arbre pondéré 

            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[sloped]
                    \node {.} 
                    child {node {$M$}
                        child {node {$W$} 
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        }
                        child {node {$B$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {...}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$S$}
                        child {node {$W$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        }
                        child {node {$B$}
                            edge from parent
                            node[above] {...}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {...}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}

        \item Calculer la probabilité de l'évènement $M \cap W$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 
        \item Montrer que la probabilité que la fiche choisie corresponde à une formule \emph{Burger} est égale à $\Var{p_B}$. 
        \item On a prélevé une fiche correspondant à la formule \emph{Burger}. Quelle est la probabilité, arrondie au millième, que la vente ait eu lieu le soir? 
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{center}
                \begin{tikzpicture}[sloped]
                    \node {.} 
                    child {node {$M$}
                        child {node {$W$} 
                            edge from parent
                            node[above] {$\Var{p_M_W}$}
                        }
                        child {node {$B$}
                            edge from parent
                            node[above] {$\Var{p_M_B}$}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {$\Var{p_M}$}
                    }
                    child[missing] {}
                    child { node {$S$}
                        child {node {$W$}
                            edge from parent
                            node[above] {$\Var{p_S_W}$}
                        }
                        child {node {$B$}
                            edge from parent
                            node[above] {$\Var{p_S_B}$}
                        } 
                        edge from parent
                        node[above] {$\Var{p_S}$}
                    } ;
                \end{tikzpicture}
            \end{center}
        \item On calcule la probabilité que la vente soit un wok et ait eu lieu à midi
            \[ P(M\cap W) = P(M) \times P_M(W) = \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} = \Var{round(p_M * p_M_W, 4)} \]
        \item Probabilité que la vente soit un burger.
            \[
                P(B) = P(M\cap B) + P(S\cap B) =  \Var{p_M} \times \Var{p_M_W} +  \Var{p_S} \times \Var{p_S_W} = \Var{p_B}
            \]
        \item On cherche à calculer la quantité $P_B(S)$. Pour cela on utilise la formule de Bayes
            \[
                P_B(S) = \frac{P(B\cap S)}{P(B)} = \frac{P_S(B) \times P(S)}{P(B)} = \frac{\Var{p_S_B}\times \Var{p_S}}{\Var{p_B}} = \Var{p_S_B*p_S/p_B} \approx \Var{round(p_S_B*p_S/p_B, 3)}
        \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Continent plastique}]
    \textit{Les quantités évoqués dans cette exercices sont générés au hasard et sont donc complètement farfelus.}
    \medskip
    %- set u0 = randint(2, 20)
    %- set t = round(0.1 + 0.2*random(), 2)
    %- set q = 1 + t
    Le \og continent de plastique\fg{} est la plus grande des plaques de déchets plastiques évoluant sur les océans. Elle occupe actuellement dans l'océan Pacifique une surface dont l'aire est évaluée à plus de $1,6$ million de km$^2$, entre Hawaï et la Californie. 

    En 2017, des scientifiques ont estimé qu'il y avait $\Var{u0}$ millions de tonnes de déchets plastiques qui était déversé chaque année dans les océans et que cette quantité augmentait de $\Var{int(t*100)}\n\%$ par chaque année.

    On modélise l'évolution de la masse de ces déchets plastiques déversée chaque année, si rien n'est fait pour la réduire, par une suite géométrique $\left(u_n\right)$. L'arrondi au centième du terme $u_n$ représente la masse de ces déchets déversée chaque année, exprimée en million de tonnes, pour l'année $(2017 + n)$. 

    \medskip

    \begin{enumerate}
        \item Expliquer pourquoi la suite $u_n$ est géométrique?
        \item Calculer $u_1$ et $u_2$. 
        \item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 
        \item Au début de l'année 2017, il y avait $300$ millions de tonnes de déchets plastique. Calculer la quantité totale de déchets plastiques en 2030.
        \item On souhaite déterminer en quelle année la masse totale de ces déchets plastiques aura pour la première fois augmenté de $50$\,\% par rapport à sa valeur de 2017. 
            \begin{enumerate}
                \item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour que la variable $N$ contienne la réponse au problème posé. 

                    \begin{center}
                        \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
                            $N \gets 2017$\\
                            $U \gets \Var{u0}$ \\
                            $S \gets 300 + U$ \\
                            Tant que $S < 450$ \\
                            \hspace{1cm} $N \gets \ldots$\\
                            \hspace{1cm} $U \gets \ldots$\\
                            \hspace{1cm} $S \gets \ldots$\\
                            Fin Tant que\\\hline
                        \end{tabularx} 
                    \end{center}
                \item Que contiennent les variables $S$, $U$ et $N$ après exécution de cet algorithme ? 

                    Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice. 
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item Une augmentation de $\Var{int(t*100)}\,\%$ revient à multiplier la quantité par $\Var{q}$. La suite est donc bien géométrique. Son premier terme est $u_0 = \Var{u0}$ et sa raison est $q = \Var{q}$
        \item 
            \[
                u_1 = u_0 * \Var{q} = \Var{u0*q}
            \]
            \[
                u_2 = u_0 * \Var{q}^2 = \Var{round(u0*q**2, 4)}
            \]
        \item 
            \[
                u_n = u_0 \times q^n = \Var{u0} \times \Var{q}^n
            \]
        \item On calcule la quantité totale déversée entre 2017 et 2030.
            %- set somme = round(u0 * (1-q**13)/(1-q), 2)
            \[
                \sum_{n = 0}^{13} u_n = u_0 \times \frac{1-q^{13}}{1-q} = \Var{u0} \times \frac{1 - \Var{q}^{13}}{1 - \Var{q}} = \Var{somme}
            \]
            On en déduit la quantité totale de déchets en 2030
            \[
                300 + \Var{somme} = \Var{300 + somme}
            \]
        \item 
            \begin{enumerate}
                \item ~
                    \begin{center}
                        \begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
                            $N \gets 2017$\\
                            $U \gets \Var{u0}$ \\
                            $S \gets 300 + U$ \\
                            Tant que $S < 450$ \\
                            \hspace{1cm} $N \gets N + 1$\\
                            \hspace{1cm} $U \gets U * \Var{q}$\\
                            \hspace{1cm} $S \gets S + u$\\
                            Fin Tant que\\\hline
                        \end{tabularx} 
                    \end{center}
                \item \textit{Pas de correction automatisé}
            \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:

