\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill CLAIN Avinash}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{4}{4} - \dfrac{- 9}{4}$
            \item $B = \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{60}$

            \item $C = \dfrac{4}{6} + \dfrac{- 3}{5}$
            \item $D = \dfrac{- 8}{7} - 8$

            \item $E = \dfrac{- 1}{3} \times \dfrac{- 4}{2}$
            \item $F = \dfrac{2}{6} \times 8$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{4} - \dfrac{- 9}{4}=\dfrac{4}{4} + \dfrac{9}{4}=\dfrac{4 + 9}{4}=\dfrac{13}{4}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{60}=\dfrac{2}{6} - \dfrac{1}{60}=\dfrac{2 \times 10}{6 \times 10} - \dfrac{1}{60}=\dfrac{20}{60} - \dfrac{1}{60}=\dfrac{20 - 1}{60}=\dfrac{20 - 1}{60}=\dfrac{19}{60}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{6} + \dfrac{- 3}{5}=\dfrac{4 \times 5}{6 \times 5} + \dfrac{- 3 \times 6}{5 \times 6}=\dfrac{20}{30} + \dfrac{- 18}{30}=\dfrac{20 - 18}{30}=\dfrac{2}{30}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 8}{7} - 8=\dfrac{- 8}{7} + \dfrac{- 8}{1}=\dfrac{- 8}{7} + \dfrac{- 8 \times 7}{1 \times 7}=\dfrac{- 8}{7} + \dfrac{- 56}{7}=\dfrac{- 8 - 56}{7}=\dfrac{- 64}{7}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 1}{3} \times \dfrac{- 4}{2}=\dfrac{- 1 \times - 4}{3 \times 2}=\dfrac{4}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{6} \times 8=\dfrac{2 \times 8}{6}=\dfrac{16}{6}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (9x - 7)(3x - 7)$
            \item $B = (- 10x - 7)(9x - 7)$

            \item $C = (3x - 7)^{2}$
            \item $D = 9 + x(- 1x - 4)$

            \item $E = - 2x^{2} + x(10x + 6)$
            \item $F = 2(x - 9)(x + 7)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (9x - 7)(3x - 7)\\&= 9x \times 3x + 9x \times - 7 - 7 \times 3x - 7 \times - 7\\&= 9 \times 3 \times x^{1 + 1} - 7 \times 9 \times x - 7 \times 3 \times x + 49\\&= - 63x - 21x + 27x^{2} + 49\\&= (- 63 - 21) \times x + 27x^{2} + 49\\&= 27x^{2} - 84x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 10x - 7)(9x - 7)\\&= - 10x \times 9x - 10x \times - 7 - 7 \times 9x - 7 \times - 7\\&= - 10 \times 9 \times x^{1 + 1} - 7 \times - 10 \times x - 7 \times 9 \times x + 49\\&= 70x - 63x - 90x^{2} + 49\\&= (70 - 63) \times x - 90x^{2} + 49\\&= - 90x^{2} + 7x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (3x - 7)^{2}\\&= (3x - 7)(3x - 7)\\&= 3x \times 3x + 3x \times - 7 - 7 \times 3x - 7 \times - 7\\&= 3 \times 3 \times x^{1 + 1} - 7 \times 3 \times x - 7 \times 3 \times x + 49\\&= - 21x - 21x + 9x^{2} + 49\\&= (- 21 - 21) \times x + 9x^{2} + 49\\&= 9x^{2} - 42x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 9 + x(- 1x - 4)\\&= 9 + x \times - x + x \times - 4\\&= - x^{2} - 4x + 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 2x^{2} + x(10x + 6)\\&= - 2x^{2} + x \times 10x + x \times 6\\&= - 2x^{2} + 10x^{2} + 6x\\&= - 2x^{2} + 10x^{2} + 6x\\&= (- 2 + 10) \times x^{2} + 6x\\&= 8x^{2} + 6x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 2(x - 9)(x + 7)\\&= (2x + 2 \times - 9)(x + 7)\\&= (2x - 18)(x + 7)\\&= 2x \times x + 2x \times 7 - 18x - 18 \times 7\\&= 7 \times 2 \times x - 126 + 2x^{2} - 18x\\&= 14x - 126 + 2x^{2} - 18x\\&= 2x^{2} + 14x - 18x - 126\\&= 2x^{2} + (14 - 18) \times x - 126\\&= 2x^{2} - 4x - 126
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 6x^{2} + 18x - 168$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 6 \times 1^{2} + 18 \times 1 - 168=6 \times 1 + 18 - 168=6 - 150=- 144
            \]
            \[ 
                f(-1) = 6 \times - 1^{2} + 18 \times - 1 - 168=6 \times 1 - 18 - 168=6 - 186=- 180
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
