\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill ONAL Yakub}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{9}{6} - \dfrac{9}{6}$
            \item $B = \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{32}$

            \item $C = \dfrac{- 3}{7} + \dfrac{- 10}{6}$
            \item $D = \dfrac{- 7}{2} - 1$

            \item $E = \dfrac{5}{10} \times \dfrac{- 7}{9}$
            \item $F = \dfrac{10}{7} \times 9$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{6} - \dfrac{9}{6}=\dfrac{9}{6} - \dfrac{9}{6}=\dfrac{9 - 9}{6}=\dfrac{9 - 9}{6}=\dfrac{0}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{32}=\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{32}=\dfrac{3 \times 8}{4 \times 8} - \dfrac{1}{32}=\dfrac{24}{32} - \dfrac{1}{32}=\dfrac{24 - 1}{32}=\dfrac{24 - 1}{32}=\dfrac{23}{32}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{7} + \dfrac{- 10}{6}=\dfrac{- 3 \times 6}{7 \times 6} + \dfrac{- 10 \times 7}{6 \times 7}=\dfrac{- 18}{42} + \dfrac{- 70}{42}=\dfrac{- 18 - 70}{42}=\dfrac{- 88}{42}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{2} - 1=\dfrac{- 7}{2} + \dfrac{- 1}{1}=\dfrac{- 7}{2} + \dfrac{- 1 \times 2}{1 \times 2}=\dfrac{- 7}{2} + \dfrac{- 2}{2}=\dfrac{- 7 - 2}{2}=\dfrac{- 9}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{5}{10} \times \dfrac{- 7}{9}=\dfrac{5 \times - 7}{10 \times 9}=\dfrac{- 35}{90}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{10}{7} \times 9=\dfrac{10 \times 9}{7}=\dfrac{90}{7}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (1x + 7)(3x + 7)$
            \item $B = (- 7x - 3)(- 9x - 3)$

            \item $C = (- 2x + 9)^{2}$
            \item $D = - 3 + x(6x + 1)$

            \item $E = - 7x^{2} + x(- 10x - 10)$
            \item $F = - 7(x - 6)(x - 6)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (1x + 7)(3x + 7)\\&= x \times 3x + x \times 7 + 7 \times 3x + 7 \times 7\\&= 7 \times 3 \times x + 49 + 3x^{2} + 7x\\&= 21x + 49 + 3x^{2} + 7x\\&= 3x^{2} + 21x + 7x + 49\\&= 3x^{2} + (21 + 7) \times x + 49\\&= 3x^{2} + 28x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 7x - 3)(- 9x - 3)\\&= - 7x \times - 9x - 7x \times - 3 - 3 \times - 9x - 3 \times - 3\\&= - 7 \times - 9 \times x^{1 + 1} - 3 \times - 7 \times x - 3 \times - 9 \times x + 9\\&= 21x + 27x + 63x^{2} + 9\\&= (21 + 27) \times x + 63x^{2} + 9\\&= 63x^{2} + 48x + 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 2x + 9)^{2}\\&= (- 2x + 9)(- 2x + 9)\\&= - 2x \times - 2x - 2x \times 9 + 9 \times - 2x + 9 \times 9\\&= - 2 \times - 2 \times x^{1 + 1} + 9 \times - 2 \times x + 9 \times - 2 \times x + 81\\&= - 18x - 18x + 4x^{2} + 81\\&= (- 18 - 18) \times x + 4x^{2} + 81\\&= 4x^{2} - 36x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 3 + x(6x + 1)\\&= - 3 + x \times 6x + x \times 1\\&= 6x^{2} + x - 3
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 7x^{2} + x(- 10x - 10)\\&= - 7x^{2} + x \times - 10x + x \times - 10\\&= - 7x^{2} - 10x^{2} - 10x\\&= - 7x^{2} - 10x^{2} - 10x\\&= (- 7 - 10) \times x^{2} - 10x\\&= - 17x^{2} - 10x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 7(x - 6)(x - 6)\\&= (- 7x - 7 \times - 6)(x - 6)\\&= (- 7x + 42)(x - 6)\\&= - 7x \times x - 7x \times - 6 + 42x + 42 \times - 6\\&= - 6 \times - 7 \times x - 252 - 7x^{2} + 42x\\&= 42x - 252 - 7x^{2} + 42x\\&= - 7x^{2} + 42x + 42x - 252\\&= - 7x^{2} + (42 + 42) \times x - 252\\&= - 7x^{2} + 84x - 252
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - x^{2} + 4x + 60$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 1 \times 1^{2} + 4 \times 1 + 60=- 1 \times 1 + 4 + 60=- 1 + 64=63
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 1 \times - 1^{2} + 4 \times - 1 + 60=- 1 \times 1 - 4 + 60=- 1 + 56=55
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



%\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
