\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Logarithme Népérien - Cours}
\date{mars 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Définitions}

Il existe une infinité de logarithmes. En tronc commun vous avez étudié le logarithme décimal. En spécialité sti2d, nous étudions le logarithme \textbf{népérien}.

\begin{definition}[ Logarithme népérien ]
    Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $\e^b = a$.
    \medskip

    $b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
    \[
        e^b = a \qquad \equiv \qquad b = \ln(a)
    \]
\end{definition}

\begin{propriete}
    \begin{itemize}
        \item Soit $a$ un nombre réel alors $\ln(\e^a) = a$.
        \item Soit $a$ un nombre réel strictement positif alors $\e^{\ln(a)} = a$.
        \item Valeurs particulières
            \[
                \ln(1) = 0 \qquad \ln(\e) = 1
            \]
    \end{itemize}
\end{propriete}

\paragraph{Exemples}%

\begin{itemize}
    \item Résolution de l'équation $e^{2x - 1} = 2$
        \\[2cm]
    \item Résolution de l'équation $\ln(2x + 1) = -2$
        \\[2cm]
\end{itemize}
\afaire{Résoudre ces équations}

\section{Relations fonctionnelles}

\begin{propriete}{Relations fonctionnelles}
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels strictement positifs et $n$ un entier naturel.
\begin{align*}
    \log(a \times b) &= \log(a) + \log(b)\\
    \log(a^n) &= n\log(a) \\
    \log\left( \frac{a}{b} \right) &= \log(a) - \log(b) \\
    \log\left( \frac{1}{a} \right) &= - \log(a) \\
\end{align*}
\end{propriete}

\paragraph{Exemple}%

Soit $f(x) = 10 + 2\ln\left(\frac{5}{4\times x}\right)$. Montrons que l'on peut écrire
\[
    f(x) = 10 + 2\ln(1,25) - 2\ln(x)
\]
\afaire{Démontrer l'égalité}









\end{document}