\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Exponentielle complexe - Cours}
\date{janvier 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\section{Multiplication des nombres complexes}

En exercice, nous avons conjecturé la propriété suivante

\begin{propriete}
    Soit $z$ et $z'$ deux nombres complexes, quand on multiplie ces deux nombres,
    \begin{itemize}
        \item les modules se multiplient: $|z\times z'| = |z| \times |z'|$
        \item les modules s'ajoutent: $arg(z\times z') = arg(z) + arg(z')$
    \end{itemize}
\end{propriete}

\section{Forme trigonométrique}

\begin{definition}

La forme exponentielle d'une nombre complexe de module $r$ (avec $r>0$) et d'argument $\theta$ est 
\[
    z = re^{i\theta}
\]
    
\end{definition}

\begin{propriete}
    Soit $z$ un nombre complexe, $r$ son module et $\theta$ son argument, alors
    \[
        z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta)) = re^{i\theta}
    \]
\end{propriete}

\subsection*{Exemple}
Forme exponentielle de $z = \sqrt{3} - i$
\afaire{}

\begin{propriete}
Soient $z = re^{i\theta}$ et $z' = r'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes écrits sous forme exponentielle. Alors
\[
    z\times z' = re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta+\theta')}
\]
\end{propriete}

\subsection*{Exemple}
Soient $z = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $z' = \sqrt{3}e^{i\frac{\pi}{2}}$. La forme exponentielle de $zz'$ est
\[
    z\times z' = 
\]
\afaire{}


\end{document}
