\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage{myXsim}

\author{Benjamin Bertrand}
\title{Logarithme - Cours}
\date{avril 2021}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\maketitle

\setcounter{section}{1}
\section{Logarithme népérien}

Avant l'invention de la calculatrice, les multiplications avec des grands nombres étaient compliquées à réaliser. Au seizième siècle, John Napier, mathématicien écossais, créa des tables de conversions qui permettaient de transformer ces multiplications en additions. Ce sont les tables de logarithmes. Elles correspondent à des fonctions qui transforment les multiplications en additions.

\begin{propriete}[Relation fonctionnelle des logarithmes]
    Il existe une famille de fonctions définie sur $\R^{+*}$ qui respecte la relation
    \[
        \forall a, b \in \R^{+*} \qquad f(a\times b)  = f(a) + f(b)
    \]
    Cette famille de fonctions s'appelle les fonctions logarithmes.
\end{propriete}

\begin{definition}[Logarithme népérien]
    On appelle \textbf{logarithme népérien} le membre des fonctions logarithmes qui vérifie
    \[
        f(e) = 1
    \]
    On note cette fonction $\ln$. Cette fonction est définie pour tout $x$ réel strictement positif.

    On a en particulier 
    \[
        \ln(e) = 1
    \]
\end{definition}

\paragraph{Autres logarithmes remarquables}%
\begin{itemize}
    \item \textbf{Logarithme décimale}, noté $\log$. C'est le logarithme qui vérifie $\log(10) = 1$.
    \item \textbf{Logarithme de base 2}, noté $\log_2$. C'est le logarithme qui vérifie $\log_2(2) = 1$.
\end{itemize}

\begin{propriete}[ Règles de calculs ]
        Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs
        \begin{eqnarray*}
            ln(1) &=& 0\\
            ln(a^n) &=& n\times ln(a)\\
            ln\left(\frac{1}{a}\right) &=& -ln(a)\\
            ln\left(\frac{a}{b}\right) &=& ln(a) - ln(b)\\
        \end{eqnarray*}
\end{propriete}

\paragraph{Démonstration}%
\label{par:Démonstration}
\afaire{Démontrer la première égalité en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ avec $a=b=1$ }
\afaire{Calculer $\ln(a^2)$, $\ln(a^3)$ et $\ln(a^4)$ en utilisant $f(a\times b) = f(a) + f(b)$ pour vérifier la 2e égalité}

\paragraph{Exemples d'utilisation}%



\begin{definition}[Logarithme népérien]
Pour tout nombre réel $a > 0$, il existe un unique nombre $b$ tel que $e^b = a$.

$b$ est appelé \textbf{logarithme népérien} de $a$ et est noté $\ln(a)$. On peut alors noter
\[
    e^b = a \qquad \equiv \ln(a) = b
\]

La fonction \textbf{logarithme népérien}, notée $\ln$, est la fonction qui à tout $x > 0$ associe $\ln(x)$
    
\end{definition}


\subsection*{Valeurs particulières du logarithme}

\afaire{Calculer les valeurs de $\ln(1)$ et $\ln(e)$}

\subsection*{Propriétés}

\begin{itemize}
    \item Pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$
    \item Pour tout $x \in \R$, $\ln(e^x) = x$
\end{itemize}

\section{Utilisation pour résoudre des équations}

Le logarithme peut être utilisé pour résoudre des équations ou inéquation mettant en jeux des exponentielle ou des puissances.

\subsection*{Propriétés}
Les propriétés suivantes sont données pour des égalités mais restent valables pour les inégalités dont le sens est conservé.
\begin{itemize}
    \item Pour tout $k>0$, l'équation $e^x = k$ a une unique solution $x=\ln(k)$.
    \item Pour tout $k\leq0$, l'équation $e^x = k$ n'a pas de solution.
    \item Pour tout $k \in \R$, l'équation $\ln(x) = k$ a une unique solution $x = e^k$.
\end{itemize}

\subsubsection*{Exemple}
\afaire{Résoudre l'équation $4e^{x} + 1 = 10$}

\end{document}
