\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill HIPOLITO DA SILVA Andréa}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{6}{10} - \dfrac{9}{10}$
            \item $B = \dfrac{9}{3} - \dfrac{- 7}{6}$

            \item $C = \dfrac{7}{2} + \dfrac{- 1}{1}$
            \item $D = \dfrac{- 8}{4} - 1$

            \item $E = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{4}$
            \item $F = \dfrac{- 9}{5} \times - 7$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{10} - \dfrac{9}{10}=\dfrac{6}{10} - \dfrac{9}{10}=\dfrac{6 - 9}{10}=\dfrac{6 - 9}{10}=\dfrac{- 3}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{3} - \dfrac{- 7}{6}=\dfrac{9}{3} + \dfrac{7}{6}=\dfrac{9 \times 2}{3 \times 2} + \dfrac{7}{6}=\dfrac{18}{6} + \dfrac{7}{6}=\dfrac{18 + 7}{6}=\dfrac{25}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{7}{2} + \dfrac{- 1}{1}=\dfrac{7}{2} + \dfrac{- 1 \times 2}{1 \times 2}=\dfrac{7}{2} + \dfrac{- 2}{2}=\dfrac{7 - 2}{2}=\dfrac{5}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 8}{4} - 1=\dfrac{- 8}{4} + \dfrac{- 1}{1}=\dfrac{- 8}{4} + \dfrac{- 1 \times 4}{1 \times 4}=\dfrac{- 8}{4} + \dfrac{- 4}{4}=\dfrac{- 8 - 4}{4}=\dfrac{- 12}{4}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{4}=\dfrac{4 \times 6}{5 \times 4}=\dfrac{24}{20}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 9}{5} \times - 7=\dfrac{- 9 \times - 7}{5}=\dfrac{63}{5}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (10x + 4)(- 3x + 4)$
            \item $B = (- 8x - 9)(3x - 9)$

            \item $C = (- 10x + 1)^{2}$
            \item $D = - 2 + x(2x + 6)$

            \item $E = 10x^{2} + x(- 1x + 7)$
            \item $F = - 7(x + 9)(x - 5)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (10x + 4)(- 3x + 4)\\&= 10x \times - 3x + 10x \times 4 + 4 \times - 3x + 4 \times 4\\&= 10 \times - 3 \times x^{1 + 1} + 4 \times 10 \times x + 4 \times - 3 \times x + 16\\&= 40x - 12x - 30x^{2} + 16\\&= (40 - 12) \times x - 30x^{2} + 16\\&= - 30x^{2} + 28x + 16
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 8x - 9)(3x - 9)\\&= - 8x \times 3x - 8x \times - 9 - 9 \times 3x - 9 \times - 9\\&= - 8 \times 3 \times x^{1 + 1} - 9 \times - 8 \times x - 9 \times 3 \times x + 81\\&= 72x - 27x - 24x^{2} + 81\\&= (72 - 27) \times x - 24x^{2} + 81\\&= - 24x^{2} + 45x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 10x + 1)^{2}\\&= (- 10x + 1)(- 10x + 1)\\&= - 10x \times - 10x - 10x \times 1 + 1 \times - 10x + 1 \times 1\\&= - 10 \times - 10 \times x^{1 + 1} - 10x - 10x + 1\\&= 100x^{2} - 10x - 10x + 1\\&= 100x^{2} + (- 10 - 10) \times x + 1\\&= 100x^{2} - 20x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 2 + x(2x + 6)\\&= - 2 + x \times 2x + x \times 6\\&= 2x^{2} + 6x - 2
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 10x^{2} + x(- 1x + 7)\\&= 10x^{2} + x \times - x + x \times 7\\&= 10x^{2} - x^{2} + 7x\\&= 10x^{2} - x^{2} + 7x\\&= (10 - 1) \times x^{2} + 7x\\&= 9x^{2} + 7x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 7(x + 9)(x - 5)\\&= (- 7x - 7 \times 9)(x - 5)\\&= (- 7x - 63)(x - 5)\\&= - 7x \times x - 7x \times - 5 - 63x - 63 \times - 5\\&= - 5 \times - 7 \times x + 315 - 7x^{2} - 63x\\&= 35x + 315 - 7x^{2} - 63x\\&= - 7x^{2} + 35x - 63x + 315\\&= - 7x^{2} + (35 - 63) \times x + 315\\&= - 7x^{2} - 28x + 315
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = x^{2} + 5x - 6$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 1^{2} + 5 \times 1 - 6=1 + 5 - 6=1 - 1=0
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 1^{2} + 5 \times - 1 - 6=1 - 5 - 6=1 - 11=- 10
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
