\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill BERTAN Ufuk}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}$
            \item $B = \dfrac{3}{5} - \dfrac{- 2}{40}$

            \item $C = \dfrac{8}{4} + \dfrac{- 6}{3}$
            \item $D = \dfrac{- 3}{6} + 9$

            \item $E = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{- 6}{2}$
            \item $F = \dfrac{- 5}{8} \times 4$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}=\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{3}=\dfrac{2 - 7}{3}=\dfrac{2 - 7}{3}=\dfrac{- 5}{3}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{3}{5} - \dfrac{- 2}{40}=\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{40}=\dfrac{3 \times 8}{5 \times 8} + \dfrac{2}{40}=\dfrac{24}{40} + \dfrac{2}{40}=\dfrac{24 + 2}{40}=\dfrac{26}{40}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{8}{4} + \dfrac{- 6}{3}=\dfrac{8 \times 3}{4 \times 3} + \dfrac{- 6 \times 4}{3 \times 4}=\dfrac{24}{12} + \dfrac{- 24}{12}=\dfrac{24 - 24}{12}=\dfrac{0}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{6} + 9=\dfrac{- 3}{6} + \dfrac{9}{1}=\dfrac{- 3}{6} + \dfrac{9 \times 6}{1 \times 6}=\dfrac{- 3}{6} + \dfrac{54}{6}=\dfrac{- 3 + 54}{6}=\dfrac{51}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{1}{3} \times \dfrac{- 6}{2}=\dfrac{1 \times - 6}{3 \times 2}=\dfrac{- 6}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{8} \times 4=\dfrac{- 5 \times 4}{8}=\dfrac{- 20}{8}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (- 10x - 7)(- 8x - 7)$
            \item $B = (5x - 3)(- 2x - 3)$

            \item $C = (- 3x + 8)^{2}$
            \item $D = - 3 + x(- 9x + 7)$

            \item $E = 9x^{2} + x(- 5x - 3)$
            \item $F = 3(x + 4)(x - 7)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (- 10x - 7)(- 8x - 7)\\&= - 10x \times - 8x - 10x \times - 7 - 7 \times - 8x - 7 \times - 7\\&= - 10 \times - 8 \times x^{1 + 1} - 7 \times - 10 \times x - 7 \times - 8 \times x + 49\\&= 70x + 56x + 80x^{2} + 49\\&= (70 + 56) \times x + 80x^{2} + 49\\&= 80x^{2} + 126x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (5x - 3)(- 2x - 3)\\&= 5x \times - 2x + 5x \times - 3 - 3 \times - 2x - 3 \times - 3\\&= 5 \times - 2 \times x^{1 + 1} - 3 \times 5 \times x - 3 \times - 2 \times x + 9\\&= - 15x + 6x - 10x^{2} + 9\\&= (- 15 + 6) \times x - 10x^{2} + 9\\&= - 10x^{2} - 9x + 9
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 3x + 8)^{2}\\&= (- 3x + 8)(- 3x + 8)\\&= - 3x \times - 3x - 3x \times 8 + 8 \times - 3x + 8 \times 8\\&= - 3 \times - 3 \times x^{1 + 1} + 8 \times - 3 \times x + 8 \times - 3 \times x + 64\\&= - 24x - 24x + 9x^{2} + 64\\&= (- 24 - 24) \times x + 9x^{2} + 64\\&= 9x^{2} - 48x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 3 + x(- 9x + 7)\\&= - 3 + x \times - 9x + x \times 7\\&= - 9x^{2} + 7x - 3
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 9x^{2} + x(- 5x - 3)\\&= 9x^{2} + x \times - 5x + x \times - 3\\&= 9x^{2} - 5x^{2} - 3x\\&= 9x^{2} - 5x^{2} - 3x\\&= (9 - 5) \times x^{2} - 3x\\&= 4x^{2} - 3x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 3(x + 4)(x - 7)\\&= (3x + 3 \times 4)(x - 7)\\&= (3x + 12)(x - 7)\\&= 3x \times x + 3x \times - 7 + 12x + 12 \times - 7\\&= - 7 \times 3 \times x - 84 + 3x^{2} + 12x\\&= - 21x - 84 + 3x^{2} + 12x\\&= 3x^{2} - 21x + 12x - 84\\&= 3x^{2} + (- 21 + 12) \times x - 84\\&= 3x^{2} - 9x - 84
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 3x^{2} - 21x - 54$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 3 \times 1^{2} - 21 \times 1 - 54=3 \times 1 - 21 - 54=3 - 75=- 72
            \]
            \[ 
                f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 21 \times - 1 - 54=3 \times 1 + 21 - 54=3 - 33=- 30
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
