\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill BOUCHOUX Kevin}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 2}{8} - \dfrac{- 8}{8}$
            \item $B = \dfrac{8}{7} - \dfrac{5}{56}$

            \item $C = \dfrac{2}{8} + \dfrac{8}{7}$
            \item $D = \dfrac{4}{7} + 9$

            \item $E = \dfrac{- 10}{3} \times \dfrac{7}{2}$
            \item $F = \dfrac{4}{4} \times 5$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 2}{8} - \dfrac{- 8}{8}=\dfrac{- 2}{8} + \dfrac{8}{8}=\dfrac{- 2 + 8}{8}=\dfrac{6}{8}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{8}{7} - \dfrac{5}{56}=\dfrac{8}{7} - \dfrac{5}{56}=\dfrac{8 \times 8}{7 \times 8} - \dfrac{5}{56}=\dfrac{64}{56} - \dfrac{5}{56}=\dfrac{64 - 5}{56}=\dfrac{64 - 5}{56}=\dfrac{59}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{8} + \dfrac{8}{7}=\dfrac{2 \times 7}{8 \times 7} + \dfrac{8 \times 8}{7 \times 8}=\dfrac{14}{56} + \dfrac{64}{56}=\dfrac{14 + 64}{56}=\dfrac{78}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{7} + 9=\dfrac{4}{7} + \dfrac{9}{1}=\dfrac{4}{7} + \dfrac{9 \times 7}{1 \times 7}=\dfrac{4}{7} + \dfrac{63}{7}=\dfrac{4 + 63}{7}=\dfrac{67}{7}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{3} \times \dfrac{7}{2}=\dfrac{- 10 \times 7}{3 \times 2}=\dfrac{- 70}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{4} \times 5=\dfrac{4 \times 5}{4}=\dfrac{20}{4}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (5x + 10)(5x + 10)$
            \item $B = (- 10x + 9)(9x + 9)$

            \item $C = (- 9x - 6)^{2}$
            \item $D = - 8 + x(3x + 9)$

            \item $E = 10x^{2} + x(7x - 2)$
            \item $F = - 6(x + 10)(x + 8)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (5x + 10)(5x + 10)\\&= 5x \times 5x + 5x \times 10 + 10 \times 5x + 10 \times 10\\&= 5 \times 5 \times x^{1 + 1} + 10 \times 5 \times x + 10 \times 5 \times x + 100\\&= 50x + 50x + 25x^{2} + 100\\&= (50 + 50) \times x + 25x^{2} + 100\\&= 25x^{2} + 100x + 100
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 10x + 9)(9x + 9)\\&= - 10x \times 9x - 10x \times 9 + 9 \times 9x + 9 \times 9\\&= - 10 \times 9 \times x^{1 + 1} + 9 \times - 10 \times x + 9 \times 9 \times x + 81\\&= - 90x + 81x - 90x^{2} + 81\\&= (- 90 + 81) \times x - 90x^{2} + 81\\&= - 90x^{2} - 9x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 9x - 6)^{2}\\&= (- 9x - 6)(- 9x - 6)\\&= - 9x \times - 9x - 9x \times - 6 - 6 \times - 9x - 6 \times - 6\\&= - 9 \times - 9 \times x^{1 + 1} - 6 \times - 9 \times x - 6 \times - 9 \times x + 36\\&= 54x + 54x + 81x^{2} + 36\\&= (54 + 54) \times x + 81x^{2} + 36\\&= 81x^{2} + 108x + 36
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 8 + x(3x + 9)\\&= - 8 + x \times 3x + x \times 9\\&= 3x^{2} + 9x - 8
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 10x^{2} + x(7x - 2)\\&= 10x^{2} + x \times 7x + x \times - 2\\&= 10x^{2} + 7x^{2} - 2x\\&= 10x^{2} + 7x^{2} - 2x\\&= (10 + 7) \times x^{2} - 2x\\&= 17x^{2} - 2x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 6(x + 10)(x + 8)\\&= (- 6x - 6 \times 10)(x + 8)\\&= (- 6x - 60)(x + 8)\\&= - 6x \times x - 6x \times 8 - 60x - 60 \times 8\\&= 8 \times - 6 \times x - 480 - 6x^{2} - 60x\\&= - 48x - 480 - 6x^{2} - 60x\\&= - 6x^{2} - 48x - 60x - 480\\&= - 6x^{2} + (- 48 - 60) \times x - 480\\&= - 6x^{2} - 108x - 480
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 4x^{2} + 20x - 200$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 4 \times 1^{2} + 20 \times 1 - 200=4 \times 1 + 20 - 200=4 - 180=- 176
            \]
            \[ 
                f(-1) = 4 \times - 1^{2} + 20 \times - 1 - 200=4 \times 1 - 20 - 200=4 - 220=- 216
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
