\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill CAGLAR Rojin}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 9}{4} - \dfrac{9}{4}$
            \item $B = \dfrac{4}{5} - \dfrac{- 10}{45}$

            \item $C = \dfrac{- 6}{3} + \dfrac{- 5}{2}$
            \item $D = \dfrac{8}{5} + 7$

            \item $E = \dfrac{6}{8} \times \dfrac{- 5}{7}$
            \item $F = \dfrac{7}{6} \times 4$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 9}{4} - \dfrac{9}{4}=\dfrac{- 9}{4} - \dfrac{9}{4}=\dfrac{- 9 - 9}{4}=\dfrac{- 9 - 9}{4}=\dfrac{- 18}{4}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{5} - \dfrac{- 10}{45}=\dfrac{4}{5} + \dfrac{10}{45}=\dfrac{4 \times 9}{5 \times 9} + \dfrac{10}{45}=\dfrac{36}{45} + \dfrac{10}{45}=\dfrac{36 + 10}{45}=\dfrac{46}{45}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 6}{3} + \dfrac{- 5}{2}=\dfrac{- 6 \times 2}{3 \times 2} + \dfrac{- 5 \times 3}{2 \times 3}=\dfrac{- 12}{6} + \dfrac{- 15}{6}=\dfrac{- 12 - 15}{6}=\dfrac{- 27}{6}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{8}{5} + 7=\dfrac{8}{5} + \dfrac{7}{1}=\dfrac{8}{5} + \dfrac{7 \times 5}{1 \times 5}=\dfrac{8}{5} + \dfrac{35}{5}=\dfrac{8 + 35}{5}=\dfrac{43}{5}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{8} \times \dfrac{- 5}{7}=\dfrac{6 \times - 5}{8 \times 7}=\dfrac{- 30}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{7}{6} \times 4=\dfrac{7 \times 4}{6}=\dfrac{28}{6}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (4x + 8)(- 4x + 8)$
            \item $B = (6x - 9)(- 7x - 9)$

            \item $C = (- 9x + 7)^{2}$
            \item $D = - 7 + x(3x - 5)$

            \item $E = 8x^{2} + x(6x - 7)$
            \item $F = 3(x - 9)(x - 2)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (4x + 8)(- 4x + 8)\\&= 4x \times - 4x + 4x \times 8 + 8 \times - 4x + 8 \times 8\\&= 4 \times - 4 \times x^{1 + 1} + 8 \times 4 \times x + 8 \times - 4 \times x + 64\\&= 32x - 32x - 16x^{2} + 64\\&= (32 - 32) \times x - 16x^{2} + 64\\&= 0x - 16x^{2} + 64\\&= - 16x^{2} + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (6x - 9)(- 7x - 9)\\&= 6x \times - 7x + 6x \times - 9 - 9 \times - 7x - 9 \times - 9\\&= 6 \times - 7 \times x^{1 + 1} - 9 \times 6 \times x - 9 \times - 7 \times x + 81\\&= - 54x + 63x - 42x^{2} + 81\\&= (- 54 + 63) \times x - 42x^{2} + 81\\&= - 42x^{2} + 9x + 81
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 9x + 7)^{2}\\&= (- 9x + 7)(- 9x + 7)\\&= - 9x \times - 9x - 9x \times 7 + 7 \times - 9x + 7 \times 7\\&= - 9 \times - 9 \times x^{1 + 1} + 7 \times - 9 \times x + 7 \times - 9 \times x + 49\\&= - 63x - 63x + 81x^{2} + 49\\&= (- 63 - 63) \times x + 81x^{2} + 49\\&= 81x^{2} - 126x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 7 + x(3x - 5)\\&= - 7 + x \times 3x + x \times - 5\\&= 3x^{2} - 5x - 7
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 8x^{2} + x(6x - 7)\\&= 8x^{2} + x \times 6x + x \times - 7\\&= 8x^{2} + 6x^{2} - 7x\\&= 8x^{2} + 6x^{2} - 7x\\&= (8 + 6) \times x^{2} - 7x\\&= 14x^{2} - 7x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 3(x - 9)(x - 2)\\&= (3x + 3 \times - 9)(x - 2)\\&= (3x - 27)(x - 2)\\&= 3x \times x + 3x \times - 2 - 27x - 27 \times - 2\\&= - 2 \times 3 \times x + 54 + 3x^{2} - 27x\\&= - 6x + 54 + 3x^{2} - 27x\\&= 3x^{2} - 6x - 27x + 54\\&= 3x^{2} + (- 6 - 27) \times x + 54\\&= 3x^{2} - 33x + 54
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 5x^{2} + 25x + 250$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 5 \times 1^{2} + 25 \times 1 + 250=- 5 \times 1 + 25 + 250=- 5 + 275=270
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 5 \times - 1^{2} + 25 \times - 1 + 250=- 5 \times 1 - 25 + 250=- 5 + 225=220
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% TeX-master: "master"
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