\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill DARICHE Kaïs}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{9}{3} - \dfrac{3}{3}$
            \item $B = \dfrac{6}{2} - \dfrac{- 1}{14}$

            \item $C = \dfrac{4}{7} + \dfrac{10}{6}$
            \item $D = \dfrac{- 3}{4} + 4$

            \item $E = \dfrac{2}{7} \times \dfrac{- 9}{6}$
            \item $F = \dfrac{- 9}{6} \times - 10$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{3} - \dfrac{3}{3}=\dfrac{9}{3} - \dfrac{3}{3}=\dfrac{9 - 3}{3}=\dfrac{9 - 3}{3}=\dfrac{6}{3}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{6}{2} - \dfrac{- 1}{14}=\dfrac{6}{2} + \dfrac{1}{14}=\dfrac{6 \times 7}{2 \times 7} + \dfrac{1}{14}=\dfrac{42}{14} + \dfrac{1}{14}=\dfrac{42 + 1}{14}=\dfrac{43}{14}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{7} + \dfrac{10}{6}=\dfrac{4 \times 6}{7 \times 6} + \dfrac{10 \times 7}{6 \times 7}=\dfrac{24}{42} + \dfrac{70}{42}=\dfrac{24 + 70}{42}=\dfrac{94}{42}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{4} + 4=\dfrac{- 3}{4} + \dfrac{4}{1}=\dfrac{- 3}{4} + \dfrac{4 \times 4}{1 \times 4}=\dfrac{- 3}{4} + \dfrac{16}{4}=\dfrac{- 3 + 16}{4}=\dfrac{13}{4}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{2}{7} \times \dfrac{- 9}{6}=\dfrac{2 \times - 9}{7 \times 6}=\dfrac{- 18}{42}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 9}{6} \times - 10=\dfrac{- 9 \times - 10}{6}=\dfrac{90}{6}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (- 6x - 6)(- 1x - 6)$
            \item $B = (- 2x - 1)(- 8x - 1)$

            \item $C = (- 9x + 2)^{2}$
            \item $D = - 6 + x(- 10x - 6)$

            \item $E = 8x^{2} + x(- 9x + 2)$
            \item $F = 6(x - 7)(x - 9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (- 6x - 6)(- 1x - 6)\\&= - 6x \times - x - 6x \times - 6 - 6 \times - x - 6 \times - 6\\&= - 6 \times - 1 \times x^{1 + 1} - 6 \times - 6 \times x - 6 \times - 1 \times x + 36\\&= 36x + 6x + 6x^{2} + 36\\&= (36 + 6) \times x + 6x^{2} + 36\\&= 6x^{2} + 42x + 36
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 2x - 1)(- 8x - 1)\\&= - 2x \times - 8x - 2x \times - 1 - 1 \times - 8x - 1 \times - 1\\&= - 2 \times - 8 \times x^{1 + 1} - 1 \times - 2 \times x - 1 \times - 8 \times x + 1\\&= 2x + 8x + 16x^{2} + 1\\&= (2 + 8) \times x + 16x^{2} + 1\\&= 16x^{2} + 10x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 9x + 2)^{2}\\&= (- 9x + 2)(- 9x + 2)\\&= - 9x \times - 9x - 9x \times 2 + 2 \times - 9x + 2 \times 2\\&= - 9 \times - 9 \times x^{1 + 1} + 2 \times - 9 \times x + 2 \times - 9 \times x + 4\\&= - 18x - 18x + 81x^{2} + 4\\&= (- 18 - 18) \times x + 81x^{2} + 4\\&= 81x^{2} - 36x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 6 + x(- 10x - 6)\\&= - 6 + x \times - 10x + x \times - 6\\&= - 10x^{2} - 6x - 6
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 8x^{2} + x(- 9x + 2)\\&= 8x^{2} + x \times - 9x + x \times 2\\&= 8x^{2} - 9x^{2} + 2x\\&= 8x^{2} - 9x^{2} + 2x\\&= (8 - 9) \times x^{2} + 2x\\&= - x^{2} + 2x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 6(x - 7)(x - 9)\\&= (6x + 6 \times - 7)(x - 9)\\&= (6x - 42)(x - 9)\\&= 6x \times x + 6x \times - 9 - 42x - 42 \times - 9\\&= - 9 \times 6 \times x + 378 + 6x^{2} - 42x\\&= - 54x + 378 + 6x^{2} - 42x\\&= 6x^{2} - 54x - 42x + 378\\&= 6x^{2} + (- 54 - 42) \times x + 378\\&= 6x^{2} - 96x + 378
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = - 5x^{2} - 15x + 140$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = - 5 \times 1^{2} - 15 \times 1 + 140=- 5 \times 1 - 15 + 140=- 5 + 125=120
            \]
            \[ 
                f(-1) = - 5 \times - 1^{2} - 15 \times - 1 + 140=- 5 \times 1 + 15 + 140=- 5 + 155=150
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
