\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill GERMAIN Anaïs}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{- 3}{10} - \dfrac{- 1}{10}$
            \item $B = \dfrac{7}{2} - \dfrac{5}{16}$

            \item $C = \dfrac{- 7}{6} + \dfrac{8}{5}$
            \item $D = \dfrac{9}{2} - 2$

            \item $E = \dfrac{4}{8} \times \dfrac{7}{7}$
            \item $F = \dfrac{3}{10} \times 9$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{10} - \dfrac{- 1}{10}=\dfrac{- 3}{10} + \dfrac{1}{10}=\dfrac{- 3 + 1}{10}=\dfrac{- 2}{10}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{7}{2} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{7}{2} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{7 \times 8}{2 \times 8} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{56}{16} - \dfrac{5}{16}=\dfrac{56 - 5}{16}=\dfrac{56 - 5}{16}=\dfrac{51}{16}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 7}{6} + \dfrac{8}{5}=\dfrac{- 7 \times 5}{6 \times 5} + \dfrac{8 \times 6}{5 \times 6}=\dfrac{- 35}{30} + \dfrac{48}{30}=\dfrac{- 35 + 48}{30}=\dfrac{13}{30}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{9}{2} - 2=\dfrac{9}{2} + \dfrac{- 2}{1}=\dfrac{9}{2} + \dfrac{- 2 \times 2}{1 \times 2}=\dfrac{9}{2} + \dfrac{- 4}{2}=\dfrac{9 - 4}{2}=\dfrac{5}{2}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{4}{8} \times \dfrac{7}{7}=\dfrac{4 \times 7}{8 \times 7}=\dfrac{28}{56}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{3}{10} \times 9=\dfrac{3 \times 9}{10}=\dfrac{27}{10}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (6x - 2)(- 9x - 2)$
            \item $B = (- 3x + 2)(6x + 2)$

            \item $C = (- 5x - 7)^{2}$
            \item $D = 1 + x(5x - 7)$

            \item $E = 7x^{2} + x(5x - 4)$
            \item $F = - 6(x + 3)(x - 6)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (6x - 2)(- 9x - 2)\\&= 6x \times - 9x + 6x \times - 2 - 2 \times - 9x - 2 \times - 2\\&= 6 \times - 9 \times x^{1 + 1} - 2 \times 6 \times x - 2 \times - 9 \times x + 4\\&= - 12x + 18x - 54x^{2} + 4\\&= (- 12 + 18) \times x - 54x^{2} + 4\\&= - 54x^{2} + 6x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (- 3x + 2)(6x + 2)\\&= - 3x \times 6x - 3x \times 2 + 2 \times 6x + 2 \times 2\\&= - 3 \times 6 \times x^{1 + 1} + 2 \times - 3 \times x + 2 \times 6 \times x + 4\\&= - 6x + 12x - 18x^{2} + 4\\&= (- 6 + 12) \times x - 18x^{2} + 4\\&= - 18x^{2} + 6x + 4
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (- 5x - 7)^{2}\\&= (- 5x - 7)(- 5x - 7)\\&= - 5x \times - 5x - 5x \times - 7 - 7 \times - 5x - 7 \times - 7\\&= - 5 \times - 5 \times x^{1 + 1} - 7 \times - 5 \times x - 7 \times - 5 \times x + 49\\&= 35x + 35x + 25x^{2} + 49\\&= (35 + 35) \times x + 25x^{2} + 49\\&= 25x^{2} + 70x + 49
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= 1 + x(5x - 7)\\&= 1 + x \times 5x + x \times - 7\\&= 5x^{2} - 7x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= 7x^{2} + x(5x - 4)\\&= 7x^{2} + x \times 5x + x \times - 4\\&= 7x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= 7x^{2} + 5x^{2} - 4x\\&= (7 + 5) \times x^{2} - 4x\\&= 12x^{2} - 4x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= - 6(x + 3)(x - 6)\\&= (- 6x - 6 \times 3)(x - 6)\\&= (- 6x - 18)(x - 6)\\&= - 6x \times x - 6x \times - 6 - 18x - 18 \times - 6\\&= - 6 \times - 6 \times x + 108 - 6x^{2} - 18x\\&= 36x + 108 - 6x^{2} - 18x\\&= - 6x^{2} + 36x - 18x + 108\\&= - 6x^{2} + (36 - 18) \times x + 108\\&= - 6x^{2} + 18x + 108
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 3x^{2} - 51x + 210$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 3 \times 1^{2} - 51 \times 1 + 210=3 \times 1 - 51 + 210=3 + 159=162
            \]
            \[ 
                f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 51 \times - 1 + 210=3 \times 1 + 51 + 210=3 + 261=264
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
