\documentclass[a5paper,10pt]{article}
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% Title Page
\title{DM1 \hfill INFANTES Antoine}
\tribe{TST}
\date{Toussain 2020}

\begin{document}
\maketitle

\begin{exercise}[subtitle={Fractions}]
    Faire les calculs avec les fraction suivants
    \begin{multicols}{3}
        \begin{enumerate}
            \item $A = \dfrac{10}{4} - \dfrac{- 6}{4}$
            \item $B = \dfrac{3}{6} - \dfrac{3}{54}$

            \item $C = \dfrac{- 10}{10} + \dfrac{2}{9}$
            \item $D = \dfrac{- 8}{8} + 1$

            \item $E = \dfrac{- 3}{4} \times \dfrac{10}{3}$
            \item $F = \dfrac{- 5}{7} \times - 6$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \[ 
                \dfrac{10}{4} - \dfrac{- 6}{4}=\dfrac{10}{4} + \dfrac{6}{4}=\dfrac{10 + 6}{4}=\dfrac{16}{4}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{3}{6} - \dfrac{3}{54}=\dfrac{3}{6} - \dfrac{3}{54}=\dfrac{3 \times 9}{6 \times 9} - \dfrac{3}{54}=\dfrac{27}{54} - \dfrac{3}{54}=\dfrac{27 - 3}{54}=\dfrac{27 - 3}{54}=\dfrac{24}{54}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 10}{10} + \dfrac{2}{9}=\dfrac{- 10 \times 9}{10 \times 9} + \dfrac{2 \times 10}{9 \times 10}=\dfrac{- 90}{90} + \dfrac{20}{90}=\dfrac{- 90 + 20}{90}=\dfrac{- 70}{90}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 8}{8} + 1=\dfrac{- 8}{8} + \dfrac{1}{1}=\dfrac{- 8}{8} + \dfrac{1 \times 8}{1 \times 8}=\dfrac{- 8}{8} + \dfrac{8}{8}=\dfrac{- 8 + 8}{8}=\dfrac{0}{8}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 3}{4} \times \dfrac{10}{3}=\dfrac{- 3 \times 10}{4 \times 3}=\dfrac{- 30}{12}
            \]
        \item 
            \[ 
                \dfrac{- 5}{7} \times - 6=\dfrac{- 5 \times - 6}{7}=\dfrac{30}{7}
            \]
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Développer réduire}]
    Développer puis réduire les expressions suivantes
    \begin{multicols}{2}
        \begin{enumerate}
            \item $A = (- 4x + 6)(- 5x + 6)$
            \item $B = (8x + 1)(- 5x + 1)$

            \item $C = (6x - 8)^{2}$
            \item $D = - 8 + x(- 9x + 8)$

            \item $E = - 3x^{2} + x(- 2x - 10)$
            \item $F = 2(x + 6)(x + 9)$
        \end{enumerate}
    \end{multicols}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item 
            \begin{align*}
                A &= (- 4x + 6)(- 5x + 6)\\&= - 4x \times - 5x - 4x \times 6 + 6 \times - 5x + 6 \times 6\\&= - 4 \times - 5 \times x^{1 + 1} + 6 \times - 4 \times x + 6 \times - 5 \times x + 36\\&= - 24x - 30x + 20x^{2} + 36\\&= (- 24 - 30) \times x + 20x^{2} + 36\\&= 20x^{2} - 54x + 36
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                B &= (8x + 1)(- 5x + 1)\\&= 8x \times - 5x + 8x \times 1 + 1 \times - 5x + 1 \times 1\\&= 8 \times - 5 \times x^{1 + 1} + 8x - 5x + 1\\&= - 40x^{2} + 8x - 5x + 1\\&= - 40x^{2} + (8 - 5) \times x + 1\\&= - 40x^{2} + 3x + 1
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                C &= (6x - 8)^{2}\\&= (6x - 8)(6x - 8)\\&= 6x \times 6x + 6x \times - 8 - 8 \times 6x - 8 \times - 8\\&= 6 \times 6 \times x^{1 + 1} - 8 \times 6 \times x - 8 \times 6 \times x + 64\\&= - 48x - 48x + 36x^{2} + 64\\&= (- 48 - 48) \times x + 36x^{2} + 64\\&= 36x^{2} - 96x + 64
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                D &= - 8 + x(- 9x + 8)\\&= - 8 + x \times - 9x + x \times 8\\&= - 9x^{2} + 8x - 8
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                E &= - 3x^{2} + x(- 2x - 10)\\&= - 3x^{2} + x \times - 2x + x \times - 10\\&= - 3x^{2} - 2x^{2} - 10x\\&= - 3x^{2} - 2x^{2} - 10x\\&= (- 3 - 2) \times x^{2} - 10x\\&= - 5x^{2} - 10x
            \end{align*}
        \item 
            \begin{align*}
                F &= 2(x + 6)(x + 9)\\&= (2x + 2 \times 6)(x + 9)\\&= (2x + 12)(x + 9)\\&= 2x \times x + 2x \times 9 + 12x + 12 \times 9\\&= 9 \times 2 \times x + 108 + 2x^{2} + 12x\\&= 18x + 108 + 2x^{2} + 12x\\&= 2x^{2} + 18x + 12x + 108\\&= 2x^{2} + (18 + 12) \times x + 108\\&= 2x^{2} + 30x + 108
            \end{align*}
    \end{enumerate}
\end{solution}

\begin{exercise}[subtitle={Étude de fonctions}]
    Soit $f(x) = 3x^{2} - 24x + 48$ une fonction définie sur $\R$.
    \begin{enumerate}
        \item Calculer les valeurs suivantes
            \[
                f(1) \qquad f(-2)
            \]
        \item Dériver la fonction $f$
        \item Étudier le signe de $f'$ puis en déduire les variations de $f$.
        \item Est-ce que $f$ admet un maximum? un minimum? Calculer sa valeur.
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{solution}
    \begin{enumerate}
        \item On remplace $x$ par les valeurs demandées
            \[ 
                f(1) = 3 \times 1^{2} - 24 \times 1 + 48=3 \times 1 - 24 + 48=3 + 24=27
            \]
            \[ 
                f(-1) = 3 \times - 1^{2} - 24 \times - 1 + 48=3 \times 1 + 24 + 48=3 + 72=75
            \]
        \item Pas de solutions automatiques.
        \item Pas de solutions automatiques.
    \end{enumerate}
\end{solution}



\printsolutionstype{exercise}



\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: "master"
%%% End:
